Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Considere f : I R → I R a função dada por:

f x = x 2 + 5 ,     x < 1   - x 2 + 3 x + 4   ,     x ≥ 1

(a) Esboce o gráfico de f

(b) Considere a região R definida por:

R = x , y ∈ I R 2 0 ≤ y ≤ f x ,   x ≥ 0

Escreva a área de R como uma soma de integrais na variável x

Passo 1

(a) Esboçar o gráfico

Vamos lá, a questão pede pra gente esboçar o gráfico dessa função. Antes de mais nada, vamos lembrar da cara de uma função g x = x ² e g x = - x 2 :

Parece um copo não é? A função do enunciado f x é também um copo porque assim como as funções acima, ela será tanto para x < 1 quando para x ≥ 1 um polinômio de grau 2. Os outros termos só servem jogar o copo pra direita ou pra esquerda, pra cima ou pra baixo.

Então vamos lá, quando x < 1 , vamos ter:

f x = x 2 + 5

Como o x 2 está positivo, estamos falando de um copo como o azul: com a boca pra cima. Mas ele vai estar um pouco mais alto por causa do + 5 . Então vamos jogar o copo azul pra cima e ficamos com:

Mas como ele só é válido pra x < 1 , então:

Agora, quando temos x ≥ 1 , nossa função vale:

f x = - x 2 + 3 x + 4

Nesse caso, como o x 2 está negativo, estamos falando de um copo como o verde: com a boca pra baixo. Mas ele vai estar um pouco mais alto por causa do + 4 e um pouco mais pra direita por causa do + 3 x . O copo verde então vai ficar:

Mas como ele só é válido pra x ≥ 1 , então:

Juntando as duas curvas, temos:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) Escrevendo a fórmula da área de R

Como a região R está entre a reta horizontal y = 0 e a nossa função f x , graficamente, estamos falando da seguinte região:

E o que é uma área se não a integral de uma função, dados os limites de integração, não é mesmo? Então:

A R =   ∫ a b f x d x

Os limites de integração não temos ainda. Quer dizer, eles estão na figura mas finge que você não viu essa cola. Como acha-los?

O primeiro é fácil, porque o próprio enunciado deu. Se x ≥ 0 na região R , então:

a = 0

O segundo pelo esboço de gráfico a gente vê que deve ser a maior raiz de f x para x ≥ 1 . Então, vamos achar as raízes de - x 2 + 3 x + 4 . Simbora:

r = - 3 ± 3 2 - 4 . - 1 . 4 2 . - 1

r = - 3 ± 25 - 2

r = 3 ∓ 5 2

r =   - 1         o u         r = 4

Pronto, achamos a maior raiz! Se a maior raiz é 4 , então:

b = 4

E nossa área fica:

A R =   ∫ 0 4 f x d x

Pra fechar, vamos lembrar que f x tem uma expressão diferente quando x < 1 e quando x ≥ 1 . Deixamos clara essas expressões diferentes ao dividirmos a integral acima em duas. Então partiu!

A R =   ∫ 0 1 x 2 + 5 d x + ∫ 1 4 - x 2 + 3 x + 4 d x

Finito!

Resposta

(a)

(b) A R =   ∫ 0 1 x 2 + 5 d x + ∫ 1 4 - x 2 + 3 x + 4 d x

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