Encontre a área da região limitada por y = x 2 , x = y 3 e x + y = 2 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Para essa questão, foi dada três equações e nosso objetivo é obter a área limitada pelo gráfico dessas três equações.

As equações em questão são dadas por y = x 2 , x = y 3 e x + y = 2 .

Todas essas são bastante utilizadas no nosso cotidiano.

Então como calculamos a área entre essas equações? 🤔

A ideia de cálculo de área está estritamente relacionada com o cálculo de integral.

A integral da área é dada como

∫ ∫ A 1 d A

Onde A é os limites de integração da área.

Vamos analisar a área entre os gráficos para analisar como podemos calcular essa integral.

Bora lá! 😁

Passo 2

Esboçando os gráficos de y = x 2 (Vermelha) e x = y 3 (Azul), e isolando y em x + y = 2 , temos y = 2 - x (Roxa), facilitando a visualização do gráfico.

Vemos que nossa área de interesse é a área hachurada de verde.

Perceba que o limite superior da área é dada pela equação x = y 3 já o limite inferior é dada pela equação y = x 2 .

Vamos isolar y na primeira equação para deixar as duas em função de x

x = y 3 → y = x 3

Montando nossa integral como o limite superior como x 3 e o inferior como x ² , vamos obter

∫ ∫ x 2 x 3 1 d y d x

Agora para a outra integral, temos que aplicar os limites de integração baseado na variação que x faz na área.

Pelos pontos de intercessão das curvas e pela imagem da área que estamos interessados, vemos que x está variando no intervalo de 0 a 1 . Logo os limites de integração para d x será

∫ 0 1 ∫ x 2 x 3 1 d y d x

Prontinho! Bora começar! 🤩

Passo 3

A primeira integral é a integral de 1 com relação a y , ou seja, sabemos que a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração.

∫ 1 d y = y

Aplicando os limites de integração

∫ x 2 x 3 1 d y = x 3 - x 2 = x 1 3 - x 2

Agora integramos o resultado com relação a x

∫ x 1 3 - x 2 d x

Pelo método de integração polinomial, temos

∫ x 1 3 - x 2 d x = x 1 3 + 1 1 3 + 1 - x 2 + 1 2 + 1 = x 4 3 4 3 - x 3 3

∫ x 1 3 - x 2 d x = 3 x 4 3 4 - x 3 3

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 x 1 3 - x 2 d x = 3 1 4 3 4 - 1 3 3 - 3 0 4 3 4 - 0 3 3

∫ 0 1 x 1 3 - x 2 d x = 3 4 - 1 3 = 5 12

Dessa forma, o resultado da nossa integral e consequentemente da área que estávamos interessados é igual a 5 / 12

∫ 0 1 ∫ x 2 x 3 1 d y d x = 5 12

Interessante, não é? 😎

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ 0 1 ∫ x 2 x 3 1 d y d x = 5 12

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