Considere a região R do plano limitada pelas curvas y = c o s θ e y = 1 - c o s θ , com 0 ≤ θ ≤ π

a . Esboce a região R , destacando os pontos notáveis da mesma.

(Atenção: não precisa determinar detalhadamente o crescimento/decrescimento nem a concavidade das funções envolvidas.)

b . Calcule a área de R

Passo 1

Bom pessoal, aqui na letra a) queremos esboçar a região que é definida por duas funções. Para isso, precisamos saber esboçar essas funções. A começar pela função y = c o s θ , que o seu gráfico para 0 < θ < π é dado como:

O segundo gráfico é o da função y = 1 - c o s ⁡ θ , o primeiro passo que podemos tomar aqui é realizar uma rotação ao redor do eixo x para termos a função y = - c o s θ , que tem o seguinte esboço:

E translada-lo uma unidade para cima, para assim termos y = 1 - c o s θ

Agora é só juntar os dois gráficos em um só e ver no que vai dar:

Perceba portanto que temos duas regiões aqui, uma onde cos ⁡ θ > 1 - cos ⁡ θ e outra onde cos ⁡ θ < 1 - c o s θ

Um ponto de interesse no nosso esboço de cima, é o ponto aonde as funções se cruzam, isso é, o ponto onde

cos ⁡ θ = 1 - cos ⁡ θ

Vamos resolver essa equação para encontra-lo:

2 cos ⁡ θ = 1

cos ⁡ θ = 1 2

Portanto, o ângulo θ é aquele cujo cosseno vale 0,5

θ = A r c c o s 0,5 = π 3

E o valor das funções nesse ponto é y = cos ⁡ π 3 = 0,5 e y = 1 - cos ⁡ π 3 = 0,5

Passo 2

Bom, agora que chegou o cálculo de verdade, né. Vamos calcular a área dessa região entre as funções, primeiramente vou dividir essa região em 2, pois uma parte temos uma função maior que a outra e depois isso inverte, por conta disso, vou dividir a região em 2, dessa forma aqui:

Dessa forma teremos que:

á r e a   R = á r e a   R 1 + á r e a   R 2

Vamos começar calculando a área da região 1.

Nesse caso cos ⁡ θ > 1 - cos ⁡ θ , portanto o termo que teremos dentro da integral será cos ⁡ θ - 1 - cos ⁡ θ e essa integral vai de 0 até π / 3 .

á r e a   R 1 = ∫ 0 π / 3 cos ⁡ θ - 1 - cos ⁡ θ   d θ

∫ 0 π / 3 cos ⁡ θ - 1 + c o s θ   d θ

∫ 0 π / 3 2 cos ⁡ θ - 1   d θ

Podemos abrir essa integral na soma de duas integrais e retirar as constantes para fora da integral:

2 ∫ 0 π / 3 cos ⁡ θ d θ - ∫ 0 π / 3 1 d θ

Por fim, ficaremos com:

2 s e n θ π / 3 0 - θ π / 3 0

Substituindo os limites...

2 s e n π 3 - s e n 0 - π 3 - 0

2 3 2 - 0 - π 3

3 - π 3

Show de bolê, agora só falta a região 2

Passo 3

Na região 2, o que vai ocorrer é que 1 - c o s θ é maior que c o s ⁡ θ , portanto teremos dentro da nossa integral 1 - c o s θ - c o s θ e o intervalo de integração será de π 3 até π . Bora lá

Á r e a   R 2 = ∫ π / 3 π 1 - c o s θ - c o s θ   d θ

∫ π / 3 π 1 - 2 c o s θ   d θ

Podemos abrir essa integral na soma de duas integrais e retirar as constantes para fora da integral:

∫ π / 3 π 1   d θ - 2 ∫ π / 3 π c o s θ   d θ

Cuja solução é:

θ   π π / 3 - 2   s e n θ   π π / 3

Substituindo os limites,

π - π 3 - 2 s e n π - s e n π 3

2 π 3 - 2 0 - 3 2

2 π 3 + 3

Passo 4

Agora é somar a área das duas regiões!

Á r e a   R = Á r e a   R 1 + Á r e a   R 2

= 3 - π 3 + 2 π 3 + 3

= 2 3 + π 3

Resposta

a .

b .     2 3 + π 3

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