4) Considere a região R do plano limitada pelas curvas y = 5 x - x 2 e y = x com 0 ≤ x ≤ 5

  1. Faça um esboço das curvas envolvidas no problema, indicando os pontos notáveis e hachurando a região R .
  2. Calcule a área da região R .

Passo 1

Bora lá, questão de esboço de gráfico e área entre curvas. Como temos duas curvas:

y = 5 x - x 2

y = x

Um bom primeiro passo é ver quando elas se encontram. Igualando elas então, temos:

5 x - x 2 = x

4 x - x 2 = 0

x 4 - x = 0

O que acontece em x = 0 e em x = 4 . Logos os pontos de interseção são:

0,0

4,4

Beleza, achamos dois pontos interessantes. Mas tem mais pontos que podemos achar pra auxiliar nosso esboço. Por exemplo, os pontos das raízes da parábola y = 5 x - x 2 . Vamos ter:

y = 5 x - x 2 = 0

x 5 - x = 0

As raízes são então x = 0 e x = 5 , logo temos a origem de novo e o ponto 5,0 , que se localiza exatamente na limitação 0 ≤ x ≤ 5 imposta pelo enunciado. Pra fechar, adicionamos então o ponto 5,5 que faz parte da reta y = x e está localizado no limite superior do intervalo. Sendo a parábola uma parábola de concavidade pra baixo, uma vez que o termo ao quadrado está negativo, usamos esses pontos para esboçar a região R :

Que no caso será tanto a área cinza escura A C E quanto a área cinza claro A C C . Ou seja:

A R = A C E + A C C

Vamos calcular um de cada vez então.

Passo 2

Começando pela área cinza clara. Dá uma boa olhada nela:

Oras, o que é essa área se não a área roxa A R X :

Menos a área verde A V :

E as áreas roxas e verdes são bem diretas de calcular porque são áreas abaixo das funções que conhecemos! Vamos ter então:

A C C = A R X - A V

A C C = ∫ 0 4 5 x - x 2   d x - ∫ 0 4 x   d x

A C C = ∫ 0 4 4 x - x 2   d x = 4 x 2 2 - x 3 3 x = 0 x = 4

A C C = 4 . 4 2 2 - 4 3 3 - 4 . 0 2 2 - 0 3 3 = 64 2 - 64 3 = 192 6 - 128 6 = 64 6 = 32 3

Passo 3

Agora vamos ver a área cinza escura:

Ela é bem parecida com a cinza clara né? A diferença é que quem está por cima agora é a reta e não a parábola! Sendo assim podemos entender essa área como a área bege A B menos a área azul A A :

E logo:

A C E = A B - A A

A C E = ∫ 4 5 x   d x - ∫ 4 5 5 x - x 2   d x

A C E = ∫ 4 5 - 4 x + x 2   d x = - 4 x 2 2 + x 3 3 x = 4 x = 5

A C E = - 4 . 5 2 2 + 5 3 3 - - 4 . 4 2 2 + 4 3 3 = - 100 2 + 125 3 - - 64 2 + 64 3

A C E = - 100 2 + 125 3 + 64 2 - 64 3 = - 300 6 + 250 6 + 192 6 - 128 6 = 14 6 = 7 3

Passo 4

Agora é só juntar. Seja:

A R = A C E + A C C

A C C = 32 3

A C E = 7 3

A área da região R vai ser então:

A R = 7 3 + 32 3

A R = 39 3

A R = 13

Resposta

  1. A R = 13

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