Calcule a área delimitada entre as curvas:

y = cossec 2 ⁡ x           ;           y = 2 + cotg 2 ⁡ x           ;           1 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Vamos lá, existem gráficos que você precisa saber desenhar, como uma reta, parábola, seno, exponencial, etc.

Agora, existem os que você realmente não precisa, a exemplo desses dois aí em cima.

Nesses casos em que você não tem muita noção do que está se passando, você simplesmente escolhe um para ser sua f cima e outro para ser sua f baixo .

Vê se você consegue visualizar: dependendo da ordem que você escolher essas funções você vai chegar na área A ou em - A , se tiver escolhido a ordem contrária.

Dessa forma, só precisamos calcular em qualquer ordem e teremos como resultado o módulo da integral.

Bom, aquele 2 me faz parecer que essa é a função maior, então vou tentar colocar ela como f cima , mas tanto faz:

∫ a b [ f cima - f baixo ] d x = ∫ 1 2 [ 2 + cotg 2 ⁡ x - cossec 2 ⁡ x ] d x

Passo 2

Bom, vamos integrar.

∫ 1 2 [ 2 + cotg 2 ⁡ x - cossec 2 ⁡ x ] d x

PARA TUDO!

Parceiro, me diz se isso aqui tá valendo:

1 + cotg 2 ⁡ x = cossec 2 ⁡ x

Propriedade trigonométrica, né? Olha que bonito se eu fizer isso:

∫ 1 2 [ 1 + ( 1 + cotg 2 ⁡ x ) - cossec 2 ⁡ x ] d x = ∫ 1 2 [ 1 + ( cossec 2 ⁡ x ) - cossec 2 ⁡ x ] d x = ∫ 1 2 [ 1 ] d x

Caô? Tá de sacanagem? É, cara, o mundo é dos malandros:

∫ 1 2 [ 1 ] d x = 2 - 1 = 1

Achei um valor para integral. Como eu disse, a área é o módulo dela (que no caso vai ser o próprio 1 , já que é um valor positivo).

Resposta

A = 1

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Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x ,     0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 ,     1 ≤ x ≤ 6