Determine a área da região dentro do círculo r = 4   s e n ( θ ) e abaixo da reta r = 3   c s c ( θ ) .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Precisamos calcular a área da região entre as curvas polares

r = 4   s e n ( θ )

e

r =   3   c s c ( θ )

A região é tal que

Ou seja, precisamos resolver uma integração da forma

A = 1 2 ∫ θ 0 θ f [ r S ( θ ) 2 - r I ( θ ) 2 ] d θ

em que r S ( θ ) é a função superior e r I ( θ ) é a função inferior! Vamos lá!

Passo 2

Os nosso limite de integração são obtidos para os valores em que as curvas se interceptam, ou seja, quando

4   s e n ( θ ) = 3   c s c ( θ )

como temos que

c s c ( θ ) = 1 / s e n ( θ )

temos que o vínculo é tal que

4   s e n 2 ( θ ) = 3

ou, simplesmente

s e n ( θ ) = ± 3 / 2

ou seja, temos que o nosso ângulo vai de θ = π / 3 até θ = - π / 3 , e a integral se torna

A = 1 2 ∫ π / 3 - π / 3 ( 9   c s c 2 ( θ ) - ( 16   s e n 2 ( θ ) ) d θ = 9 2 ∫ π / 3 - π / 3 c s c 2 ( θ ) d θ - 8 ∫ π / 3 - π / 3 s e n 2 ( θ ) d θ

Vamos resolver essas integrais! Saca só!

Passo 3

A primeira integral é bastante direta pois temos que a primitiva pode ser identificada lembrando que a derivada da cotangente é o negativo da cossecante ao quadrado, portanto

∫ π / 3 - π / 3 c s c 2 ( θ ) d θ = - c o t g ( θ ) | π / 3 - π / 3 = - c o t g ( - π / 3 ) + c o t g ( π / 3 )

usando que c o t g ( π / 6 ) = 3 / 3 = - t g ( - π / 6 ) , portanto, temos que

∫ π / 3 - π / 3 c s c 2 ( θ ) d θ = 2 3 / 3

Agora, para a segunda integral, vamos precisar de algumas relações trigonométricas! Vamos lá!

Passo 4

Temos que resolver

∫ π / 3 - π / 3 s e n 2 ( θ ) d θ

usando que

s e n 2 ( θ ) = 1 2 [ 1 - c o s ( 2 θ ) ]

podemos escrever que

∫ π / 3 - π / 3 s e n 2 ( θ ) d θ = 1 2 ∫ π / 3 - π / 3 d θ - 1 2 ∫ π / 3 - π / 3 c o s ( 2 θ ) d θ

Usando os resultados conhecidos

∫ π / 3 - π / 3 d θ = θ | π / 3 - π / 3 = - π / 3 - ( π / 3 )

ou simplesmente

∫ π / 3 - π / 3 d θ = - 2 π / 3

e, para a outra integral

∫ π / 3 - π / 3 c o s ( 2 θ ) d θ = 1 2 s e n ( 2 θ ) | π / 3 - π / 3 = 1 2 [ s e n ( - 2 π / 3 ) - s e n ( 2 π / 3 ) ]

que se resume à

∫ π / 3 - π / 3 c o s ( 2 θ ) d θ = - 3 / 2

De forma que a integral desejada é

∫ π / 3 - π / 3 s e n 2 ( θ ) d θ = 1 2 ( - 2 π / 3 ) - 1 2 ( - 3 / 2 ) = - π / 3 + 3 / 4

Vamos juntar todos os resultados agora e obter a nossa área!

Passo 5

Coletando os resultados dos passos anteriores, temos que

A = 9 2 ∫ π / 3 - π / 3 c s c 2 ( θ ) d θ - 8 ∫ π / 3 - π / 3 s e n 2 ( θ ) d θ = 9 2 ( 2 3 / 3 ) - 8 ( - π 3 + 3 4 )

portanto, temos que a área é igual à

A = 3 3 - 2 3 + 8 π / 3 = 3 + 8 π / 3

A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A = 3 + 8 π / 3

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