Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Questão 4: Sabe-se que as curvas y = 2 x e y = x 2 intersectam-se em exatamente três pontos com abscissas c , 2 e 4 , respectivamente, onde c é um número real negativo.

Calcule a área total, em termos de c , da região entre as curvas para c ≤ x ≤ 4 .

Dica: Faça um esboço destacando os pontos importantes e lembre-se que 2 x = e x ln ⁡ 2 .

Passo 1

Eu sei, dá vontade de encontrar aquele c neh? Mas não, não é isso que queremos. Na verdade queremos que a área esteja em termos de c . Bem, a primeira coisa aqui é desenhar a região que queremos a área, assim como a dica nos disse:

1º - A curva y = x 2 (Uma parábola)

2º - A exponencial y = 2 x (Uma exponencial semelhante ao gráfico de e x ):

Logo, essas duas coisas juntas nos dá...

Repare que em c , 2 e 4 , temos de fato o encontro dessas coisas. Queremos a área entre elas de c a 4 , logo a área da região...

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Área de superfície é sempre dada pela fórmula:

A R = ∫ a b f x - g x d x

Onde a e b são os pontos de variação de x da área. f x é a função que está por cima e g a que está por baixo!

Para a área da nossa região de c até 4 ,

precisamos separar em duas partes e calcular a área desses gomos separados e depois somar tudo.

Passo 3

Para a área do primeiro gomo, de c até 2 , usamos...

A 1 = ∫ c 2 f x - g x d x

Onde a função que esta por cima no caso é a exponencial e a de baixo é a parábola:

A 1 = ∫ c 2 2 x - x 2 d x =

∫ c 2 2 x d x - ∫ c 2 x 2 d x =

∫ c 2 2 x d x - x 3 3 c 2 = ∫ c 2 2 x d x - 2 3 3 - c 3 3 =

∫ c 2 2 x d x + c 3 3 - 8 3 =

Para essa outra integral, ela não tem uma integral direta. Mas, se pegarmos a dica...

∫ c 2 e x ln ⁡ 2   d x + c 3 3 - 8 3 =

Agora sim a integral é direta...

e x ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 c 2 + c 3 3 - 8 3 =

e 2 ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 - e c ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 + c 3 3 - 8 3

Eis a área do primeiro gomo ;)

A 1 = e 2 ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 - e c ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 + c 3 3 - 8 3

Passo 4

Quanto á área do segundo gomo usamos a mesmíssima fórmula...

A R = ∫ a b f x - g x d x

A diferença é que agora vamos considerar a = 2 e b = 4

A 2 = ∫ 2 4 f x - g x d x

a função de cima é a parábola e a de baixo a função exponencial...

A 2 = ∫ 2 4 x 2 - 2 x d x =

∫ 2 4 x 2 - e x ln ⁡ 2 d x =

A primitiva dessas duas já foram encontradas no passo anterior...

x 3 3 - e x ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 2 4 = 4 3 3 - e 4 ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 - 2 3 3 - e 2 ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 =

64 3 - e 4 ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 - 8 3 + e 2 ln ⁡ 2 ln ⁡ 2

Passo 5

Somando então essas duas áreas, encontramos a área de R que queríamos...

A R = A 1 + A 2

A R = e 2 ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 - e c ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 + c 3 3 - 8 3 + 64 3 - e 4 ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 - 8 3 + e 2 ln ⁡ 2 ln ⁡ 2

A R = 2 e 2 ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 - e c ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 + c 3 3 - 48 3 - e 4 ln ⁡ 2 ln ⁡ 2

Como pela dica, temos e 2 ln ⁡ 2 = 2 2 ...

A R = 2 ⋅ 2 2 - 2 c - 2 4 ln ⁡ 2 + c 3 3 - 48 3 =

- 2 c - 8 ln ⁡ 2 + c 3 3 - 48 3

Bem, note que esse valor é negativo, afinal c também é negativo, logo, a área na real é o módulo desses valores...

A R = - 2 c - 8 ln ⁡ 2 + c 3 3 - 48 3 = 2 c + 8 ln ⁡ 2 - c 3 3 + 48 3

Resposta

2 c + 8 ln ⁡ 2 - c 3 3 + 48 3

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