Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região

(11) x , y = 4 - x

Passo 1

Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?

O objetivo principal dessa questão é calcular a área de uma região por meio da integração. Para isso precisamos esboçar as funções para entender a delimitação do local. Por fim, vamos desenhar o retângulo com sua altura e largura.

Primeiramente, devemos esboçar as funções. Veja a figura abaixo que representa a interseção entre elas.

Passo 2

Devemos obter a interseção entre as curvas, ou seja, os pontos em que essas funções se cruzam.

Igualando as funções

x = 4 - x

( x ) 2 = ( 4 - x ) 2

x = 4 - x

x + x = 4

2 x = 4

x = 2

Encontrando y :

y = 2 = 1,41

Logo, essas funções se encontram em P = ( 2 ;   1,41 ) .

Note que: Podemos dividir a área a ser calculada em duas regiões de mesmo tamanho, então basta calcular um lado da divisão e multiplicar o resultado da área por 2.

Passo 3

O próximo passo é calcular a área da região por meio da integração. Sabemos que a área é dada por:

A = ∫ a b [ f x - g x ] d x

Em que, a f(x) é a função que delimita a parte superior da área e g(x) é a função que limita a parte inferior da área. Como mostra a figura abaixo

Substituindo os dados para calcular a área, temos:

A ' = ∫ 0 2 x - 0 d x

Calculando a integral

A ' = ∫ 0 2 x 1 / 2 d x

A ' = 2 3 x 3 / 2 0 2

A ' = 2 3 ( 2 ) 3 / 2

A ' = 4 2 3

A ' = 1,9

A área total será

A = 2 A ' = 2 ( 1,9 )

A = 3,8

Até a próxima!

Resposta

A = 3,8

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