Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Esboce a região do plano delimitada pelos gráficos y = 2 - x e y = 4 - x 2 e calcule sua área.

Passo 1

Cara, para esboçar essa região, a gente precisa esboçar as curvas y = 2 - x e y = 4 - x 2 no mesmo plano, e identificar a região que está entre elas, beleza? E como a gente faz isso?

Nossas funções são:

y = 2 - x

y = 4 - x 2

Essa primeira é uma reta. Para colocar ela no gráfico a gente só precisa de 2 pontos. Se a gente fizer x = 0 , achamos y = 2 ; e se fizermos x = 2 , achamos y = 0 . Aí vemos que a reta passa pelos pontos:

0,2 ,     2,0

Colocando no gráfico, fica assim:

E y = 4 - x 2 é uma parábola virada para baixo. Uma forma de localizá-la é achando achar 3 pontos que pertencem a ela: os pontos onde ela corta os eixos coordenados.

- para x = 0 , y = 4 : ponto 0,4

- e para achar as raízes dessa parábola, fazemos

y = 4 - x 2 = 0 ∴ x = ± 2

Então temos os pontos 0,4 ,   2,0   e   - 2,0 . Fazendo uma parábola virada para baixo que passa por esses pontos, a gente tem:

Colocando essas duas coisas no mesmo plano, e marcando a região entre elas, achamos essa região aqui:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E para achar a área entre curvas que são funções de x , a gente precisa montar a fórmulinha:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

A f m a i o r representa a função que limita a nossa região por cima, e f m e n o r a função que limita a nossa região por baixo.

Olhando ali no nosso desenho, vemos que quem limita nossa região por cima é a y = 4 - x 2 e quem limita nossa região por baixo é a função y = 2 - x .

Aí a gente tem que para o nosso caso:

f m a i o r = 4 - x 2

f m e n o r = 2 - x

E nosso integrando fica:

A = ∫ a b 4 - x 2 - 2 - x d x

Passo 3

E na fórmula, [ a , b ] é o intervalo em que nossa região está. A gente vê que ela está entre os dois valores de x das interseções entre essas duas curvas. Vamos achar esses caras!

A gente tem

y = 2 - x ,     y = 4 - x 2

Igualando essas duas expressões para y :

2 - x = 4 - x 2 ∴ x 2 - x - 2 = 0

Δ = 1 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 2 = 1 + 8 = 9

x = 1 ± 3 2 ∴ x 1 = 2 ,   x 2 = - 1

Daí a gente tira que:

a = - 1 ,     b = 2

E aí a nossa integral para calcular a área fica:

A = ∫ - 1 2 4 - x 2 - 2 + x d x

Passo 4

Agora é calcular essa belezura.

A = ∫ - 1 2 2 - x 2 + x d x

Uma propriedade diz que podemos fazer a integral de cada uma das funções e depois fazer a subtração e a soma entre elas:

A = ∫ - 1 2 2 d x - ∫ - 1 2 x 2 d x + ∫ - 1 2 x d x

Usando a regrinha de integrar polinômios:

A = 2 x - 1 2 - x 3 3 - 1 2 + x 2 2 - 1 2

A = 4 + 2 - 8 3 + 1 3 + 4 2 - 1 2 = 9 2

Resposta

A = 9 2

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