Calcule a área da região interior ao cardióide r = 1 + c o s ( θ ) e à direita da reta x = 3 / 4 .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Precisamos calcular a área da seguinte região delimitada pelo cardióide

r = 1 + c o s ( θ )           ( 1 )

e a direita da reta x = 3 / 4 , ou seja, temos a seguinte região

O cardióide é uma curva que parece um coração! Em coordenadas polares, temos que a reta determina apenas um ângulo, já que

x = r   c o s ( θ ) = 3 / 4           ( 2 )

a área de curvas polares é calculada usando a seguinte relação

A = 1 2 ∫ θ 0 θ [ r ( θ ) ] 2 d θ

Como aqui temos a área entre duas curvas temos que fazer a diferença entre as áreas para obter apenas o desejado! Vamos tentar encontrar os limites de integração!

Passo 2

A equação ( 2 ) nos dá a curva secante

r = 3 4 s e c ( θ )

uma vez que s e c ( θ ) = 1 / c o s ( θ ) , a interseção entre elas ocorre quando

1 + c o s ( θ ) = 3 4 s e c ( θ )

dividindo tudo por c o s ( θ ) , temos que

s e c ( θ ) + 1 = 3 4 s e c 2 ( θ )

vamos pensar nisso como um polinômio da forma

3 4 z 2 - z - 1 = 0

Aplicando Bhaskara, temos que

z ± = 1 ± 1 + 3 3 / 2 = 2 3 [ 1 ± 2 ]

ou seja, temos as raízes

z + = 2 e z - = - 2 / 3

como temos que

s e c ( θ ) = z

procuramos ângulos tais que

s e c ( θ ) = 2 e s e c ( θ ) = - 2 / 3

da mesma forma, queremos ângulos tais que

c o s ( θ ) = 1 / 2 e c o s ( θ ) = - 3 / 2

a segunda relação acima não existe pois 3 / 2 > 1 , sendo assim, os ângulos de interseção são dados pela primeira relação, e temos que pela paridade do cosseno, obtemos

θ = ± π / 3

Vamos calcular agora a área desejada!

Passo 3

Observando nossa figura podemos perceber que devemos retirar a área a esquerda da reta da área do cardióide, apenas tendo cuidado para selecionar o intervalo desejado. A área será dada por

A = 1 2 ∫ - π / 3 π / 3 ( 1 + c o s ( θ ) ) 2 d θ - 9 32 ∫ - π / 3 π / 3 s e c 2 ( θ ) d θ = 1 2 ∫ - π / 3 π / 3 d θ + ∫ - π / 3 π / 3 c o s ( θ ) d θ + 1 2 ∫ - π / 3 π / 3 c o s 2 ( θ ) d θ - 9 32 ∫ - π / 3 π / 3 s e c 2 ( θ ) d θ

podemos identificar diretamente algumas integrações como

∫ - π / 3 π / 3 d θ = θ | - π / 3 π / 3 = 2 π 3

e, também que

∫ - π / 3 π / 3 c o s ( θ ) d θ = s e n ( θ ) | - π / 3 π / 3 = 3

Para a terceira integral vamos usar a relação de meio ângulo para o cosseno, de forma que

∫ - π / 3 π / 3 c o s 2 ( θ ) d θ = 1 2 ∫ - π / 3 π / 3 d θ + 1 2 ∫ - π / 3 π / 3 c o s ( 2 θ ) d θ = 1 2 θ | - π / 3 π / 3 + 1 2 [ 1 2 s e n ( 2 θ ) | - π / 3 π / 3 ]

ou simplesmente

∫ - π / 3 π / 3 c o s 2 ( θ ) d θ = π 3 + 3 4

Falta apenas uma integral! Resumindo o que obtivemos até agora, temos que

A = π 3 + 3 + π 6 + 3 8 - 9 32 ∫ - π / 3 π / 3 s e c 2 ( θ ) d θ = π 2 + 9 3 8 - 9 32 ∫ - π / 3 π / 3 s e c 2 ( θ ) d θ

Vamos resolver a integral que falta agora!

Passo 4

Para resolver essa integral vamos lembrar que

d d θ [ t g ( θ ) ] = s e c 2 ( θ )

portanto, podemos garantir que

∫ - π / 3 π / 3 s e c 2 ( θ ) d θ = t g ( θ ) | - π / 3 π / 3 = 2 3

e, finalmente, podemos escrever a área como

A = π 2 + 9 3 8 - 9 3 16 = π 2 + 9 3 16

ou simplesmente

A = 8 π + 9 3 16

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A = 8 π + 9 3 16

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval