Desenhe a região A e calcule sua área:

a )   A = { x , y ∈ R 2 : y ≥ x 2 - 4 ,   y ≤ 12 - 3 x 2   e   y ≤ 3 x 2 + 12 x + 12 }

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa região

A = x , y ∈ R 2 : y ≥ x 2 - 4 ,   y ≤ 12 - 3 x 2   e   y ≤ 3 x 2 + 12 x + 12

E pediu para desenharmos a região e calcular a área!

Mas como resolver isso?

Precisamos fazer um esboço da região que pretendemos achar! Assim vamos verificar quais são os limites de integração e qual função está mais acima e mais abaixo, bem como dividir a região em várias caso precise! Vamos começar vendo uma função por uma:

y ≥ x 2 - 4 : a c i m a   d a   f u n ç ã o   y ≤ 12 - 3 x 2 : a b a i x o   d a   f u n ç ã o y ≤ 3 x 2 + 12 x + 12 : a b a i x o   d a   f u n ç ã o

então saca só como fica nossa região:

As regiões hachuradas é nossa região A! Podemos verificar que temos duas regiões: quando a função azul está por cima e a verde por baixo entre x = - 2 e x = 0 , e uma outra região que a função vermelha está por cima e a verde por baixo entre x = 0 e x = 2 . Sendo assim nossa região vai ser calculada por duas integrais!

Beleza?

Nossa missão é montar as integrais, acertar os limites de integração e partiu integrar!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar montando nossas integrais: uma de x = - 2   a t é   0 e outra x = 0   a t é   2 :

A = ∫ - 2 0 h x - f x d x + ∫ 0 2 g x - f x d x

Beleza?

Agora vamos substituir as funções!

A = ∫ - 2 0 3 x 2 + 12 x + 12 - x 2 - 4 d x + ∫ 0 2 12 - 3 x 2 - x 2 - 4 d x

Organizando um pouco temos

A = ∫ - 2 0 2 x 2 + 12 x + 16 d x + ∫ 0 2 - 4 x 2 + 16 d x  

Agora é só integrar!

Passo 3

Integrando temos

A = ∫ - 2 0 2 x 2 + 12 x + 16 d x + ∫ 0 2 - 4 x 2 + 16 d x

= 2 x 3 3 + 12 x 2 2 + 16 x - 2 0 + - 4 x 3 3 + 16 x 0 2

E por fim vamos aplicar nos limites!

- 2 3 - 2 3 - 6 - 2 2 - 16 ( - 2 ) + - 4 3 2 3 + 16 ( 2 )

E simplificando temos

A = 16 3 - 32 3 - 24 + 32 + 32

A = 40 - 16 3 = 120 - 16 3 = 104 3

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

104 3

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