f e g representadas abaixo. Em cada região marcada, está indicada a medida da área

  1. Escreva as áreas A 1 ,   A 3 e A 5 em termos de integrais

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Temos o gráfico de duas funções. E temos indicações de regiões abaixo dessas regiões.

O problema pediu para escrever as áreas A 1 ,   A 3 e A 5 em termos de integrais. Bom, então precisamos analisar o gráfico para cada uma dessas áreas e escrever como a integral de uma dessas funções.

Mas uma dica: caso a área esteja compreendida entre duas funções, a integral que representa essa área é a diferença entre elas! Dá uma olhada nesse gráfico genérico:

Se quiséssemos a área da f ( x ) , seria a partir dela, até o eixo x . Mesma coisa se quiséssemos a área da g ( x ) . Mas o que nos interessa aqui é o que está entre: aí é só fazer a área da de cima MENOS a área da de baixo!

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar calculando a área A 1 :

A área A 1 está compreendida no intervalo fechado [ a , b ] . A função que está mais acima é a f ( x ) e a que está embaixo é a g ( x ) . Então a área entre elas é a diferença:

A 1 = ∫ a b f x - g x d x  

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos encontrar a integral da área A 3 :

A área A 3 está compreendida no intervalo fechado [ b , c ] . A função que está mais acima é a f ( x ) e a que está embaixo é a g ( x ) . Então a área entre elas é a diferença:

A 3 = ∫ b c f x - g x d x  

Passo 4

Vamos escrever a integral que representa a área A 5 . E agora ATENÇÃO

Nesse último intervalo as funções INVERTEM as posições! A função mais acima é a g ( x ) e a que está por baixo é a f ( x ) . E isso vai se refletir na integral que representa a área A 5 :

Então a área entre elas é a diferença, mas agora quem está por cima é a g :

A 5 = ∫ c d g x - f x d x  

Beleza? E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

A 1 = ∫ a b f x - g x d x  

A 3 = ∫ b c f x - g x d x  

A 5 = ∫ c d g x - f x d x  

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