Esboce a região e encontre sua área (se for finita)

S = x , y ; x ≥ 0 ,   0 ≤ y ≤ x e - x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? O problema nos pediu para calcularmos essa área aqui

Com

S = x , y ; x ≥ 0 ,   0 ≤ y ≤ x e - x

A região hachurada está acima do eixo x e abaixo da curva

y = x e - x

E o x ? Vai de x = 0 até x = ? Até quanto? Até mais infinito!

E essa área pode ser calculada se essa integral foi convergente, ou seja, se o cálculo dessa integral com o limite superior sendo resulta em um número! Essa integral nós chamamos de integral imprópria

I = ∫ 0 ∞ x e - x d x

A ideia então é resolver usando o método mais apropriado! Mas relaxa, vou fazer com você!

Passo 2

Precisamos resolver essa integral

I = ∫ 0 ∞ x e - x d x

Então antes de mais nada, precisamos trocar essa integral imprópria, por limites apropriados

I = lim c → ∞ ⁡ ∫ 0 c x e - x d x

Como temos uma função algébrica ( x ) multiplicada por uma exponencial ( e - x ) vamos usar a integração por partes.

u = x → d u = d x

d v = e - x d x → v = - e - x

Lembrando que o método por partes é assim

Agora vamos substituir:

∫ x e - x d x = - x e - x 0 c + ∫ 0 c e - x d x = - x e - x - e - x 0 c

Agora vamos substituir nos limites:

∫ 0 c x e - x d x = - c e c - 1 e c + 1

Tudo bem até aqui?

Então agora nossa missão é: avaliar o limite do resultado quando c → ∞

Passo 3

Vamos começar recapitulando! Tínhamos que resolver essa integral

I = lim c → ∞ ⁡ ∫ 0 c x e - x d x

E achamos

∫ 0 c x e - x d x = - c e c - 1 e c + 1

Agora basta fazermos o limite quando c → ∞ do resultado da integral

lim c → ∞ ⁡ - c e c - 1 e c + 1

Como o limite da soma é a soma dos limites podemos avaliar os termos separadamente

lim c → ∞ ⁡ - c e c ⏝ ∞ ∞ = L ´ H + lim c → ∞ ⁡ - 1 e c ⏝ 1 ∞ = 0 + lim c → ∞ ⁡ ( 1 ) ⏝ = 1

Aplicando a regra de L’Hopital no primeiro, temos o seguinte

lim c → ∞ ⁡ - c ' e c ' = lim c → ∞ ⁡ - 1 e c = 0

Assim nosso limite fica

lim c → ∞ ⁡ - c e c - 1 e c + 1 = 0 + 0 + 1 = 1

Olha só! Encontramos um resultado finito! Isso significa que a integral imprópria converge é a área embaixo da curva y = x e - x é

I = 1

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado!

=D

Resposta

I = 1

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