Em cada item, determine a área da região delimitada pelos gráficos das curvas.

h) x = 2 y 2 e x = 4 + y 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a área entre as curvas de x = 2 y 2 e x = 4 + y 2 , que é essa região aqui em amarelo:

Repare que é mais interessante agora, “varrer” a região primeiro em relação a y , porque ela é limitada horizontalmente por x = 2 y 2 (curva em verde) e x = 4 + y 2 (curva em azul). E aí ela passa a ser limitada verticalmente onde as curvas se interceptam, em y = - 2 e y = 2 . Então, nossa integral de área tem a forma:

A = ∫ a b g y - f y   d y

Onde, nesse caso, g y = 4 + y 2 , f x = 2 y 2 e a ,   b = - 2 ,   2 .

Vamos lá!

Passo 2

Montando nossa integral de área, temos:

A = ∫ - 2 2 4 + y 2 - 2 y 2   d y = ∫ - 2 2 4 - y 2   d y

Assim, integrando usando a regrinha da potência ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ), vamos ter:

4 y 0 + 1 0 + 1 - y 2 + 1 2 + 1   - 2 2

4 y - y 3 3 - 2 2

Aplicando os limites de integração:

4 2 - 2 3 3 - 4 - 2 + - 2 3 3

8 - 8 3 + 8 - 8 3

Simplificando, temos a nossa área:

A = 16 - 16 3

A = 32 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 32 3

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