Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Seja a ∈ I R . Considere a função f : I R → I R definida por:

f x = - x 2 + 1 ,     s e   x < a 2 3 x - 1 x - 4 ,     s e   x ≥ a

(a) Determine o valor de a para que a função f seja contínua e diferenciável em x = a

(b) Seja a o valor determinado no item anterior.

(b.1) Calcule ∫ - 1 2 f x d x

(b.2) Seja R a região limitada pelo gráfico de f e o eixo x . Calcule a área de R

(b.3) Os resultados dos itens (b.1) e (b.2) deveriam ser iguais? Justifique sua resposta

Passo 1

Opa, vamos lá! Como temos uma função definida por partes e a função tem que ser contínua, tem que ser válido pra qualquer valor de x = c :

lim x → c - ⁡ f x = lim x → c + ⁡ f x = f x

Fazendo c = a , temos:

lim x → a - ⁡ f x = lim x → a + ⁡ f x = f a

lim x → a - ⁡ - x 2 + 1 = lim x → a + ⁡ 2 3 x - 1 x - 4 = 2 3 a - 1 a - 4

Como o limite do meio e f a dão o mesmo resultado, basta igualar:

- a 2 + 1 = 2 3 a - 1 a - 4

- a 2 + 1 = 2 3 a 2 - 5 a + 4

3 - a 2 + 1 = 2 a 2 - 5 a + 4

Multiplicando então, temos:

- 3 a 2 + 3 = 2 a 2 - 10 a + 8

- 5 a 2 + 10 a - 5 = 0

a 2 - 2 a + 1 = 0

Opa! Esse aí é um trinômio quadrado perfeito!

a - 1 2 = 0

a = 1

Então tai respondido! Essa função só é contínua se a = 1 . Agora, pra ser diferenciável, além de contínua, ela tem que possuir derivadas laterais iguais! Pra isso, derivando as duas leis de formação, temos:

f x = - x 2 + 1 ,     s e   x < a 2 3 x - 1 x - 4 ,     s e   x ≥ a

f ' x = - x 2 + 1 ' ,     s e   x < 1 2 3 x 2 - 5 x + 4 ' ,     s e   x > 1

f ' x = - 2 x ,     s e   x < 1 2 3 2 x - 5 ,     s e   x > 1

Checando as derivadas laterais:

f ' 1 - = - 2 1 = - 2

f ' 1 + = 2 3 2 1 - 5 = - 2

Opa! Derivadas laterais iguais indicam que a função é sim contínua e diferenciável se a = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamo agora calcular a seguinte integral:

∫ - 1 2 f x d x

Mas olha só, a gente tem que tomar um cuidado enooorme com ela: os limites de integração! Veja, se dividirmos essa integral em:

∫ - 1 2 f x d x = ∫ - 1 1 f x d x + ∫ 1 2 f x d x

Ficamos com duas integrais que vão cada qual receber uma das leis de formação de f x ! Afinal, os primeiros limites de integração estão pra x < 1 e o segundo pra x ≥ 1 . Vambora calcular:

∫ - 1 2 f x d x = ∫ - 1 1 - x 2 + 1 d x + ∫ 1 2 2 3 x 2 - 5 x + 4 d x

∫ - 1 2 f x d x = - x 3 3 + x x = - 1 x = 1 + 2 3 x 3 3 - 5 x 2 2 + 4 x x = 1 x = 2

∫ - 1 2 f x d x = - 1 3 + 1 - 1 3 - 1 + 2 3 8 3 - 20 2 + 8 - 1 3 - 5 2 + 4

∫ - 1 2 f x d x = 2 3 - - 2 3 + 2 3 16 6 - 60 6 + 48 6 - 2 6 - 15 6 + 24 6

∫ - 1 2 f x d x = 2 3 + 2 3 + 2 3 4 6 - 11 6

∫ - 1 2 f x d x = 4 3 + 2 3 - 7 6 = 4 3 - 7 9 = 12 9 - 7 9 = 5 9

Passo 3

Beleza, agora a gente vai continuar falando de integrais, mas de forma mais aplicada: áreas! Como o que fecha a região R é o próprio eixo x temos que ver em que pontos a função zera:

f x = - x 2 + 1 ,     s e   x < a 2 3 x - 1 x - 4 ,     s e   x ≥ a

Pra primeira lei de formação:

- x 2 + 1 = 0

x 2 = 1

x = ± 1

Pra segunda lei de formação:

2 3 x - 1 x - 4 = 0

x = 1               o u                 x = 4

E e veja só, as raízes das leis de formação estão dentro do intervalo de definição de cada uma. Ou seja, pra calcular a área abaixo do gráfico basta separarmos:

A = A 1 + A 2

Onde as áreas A 1 , A 2 são as áreas abaixo do gráfico pra cada lei de formação, com os limites de integração sendo suas raízes! Belezinha, agora vamos calcular, lembrando de tomar cuidado com áreas negativas pois devemos multiplica-las por - 1 caso encontremos. Vamos ter:

A 1 = ∫ - 1 1 f x d x = ∫ - 1 1 - x 2 + 1 d x

A 1 = - x 3 3 + x x = - 1 x = 1 = - 1 3 + 1 - 1 3 - 1

A 1 = 2 3 - - 2 3 = 2 3 + 2 3 = 4 3

Agora, pra próxima área:

A 2 = ∫ 1 4 f x d x = ∫ 1 4 2 3 x 2 - 5 x + 4 d x

A 2 = 2 3 x 3 3 - 5 x 2 2 + 4 x x = 1 x = 4 = 2 3 64 3 - 80 2 + 16 - 1 3 - 5 2 + 4

A 2 = 2 3 128 6 - 240 6 + 96 6 - 2 6 - 15 6 + 24 6

A 2 = 2 3 - 16 6 - 11 6 = 2 3 - 27 6 = - 27 9 = - 3

Como deu negativo e área negativa não rola, temos que multiplicar ela por - 1 . Sendo assim A 2 = 3 e logo:

A = A 1 + A 2

A = 4 3 + 3

A = 1 3 3

Podemos ver que os resultados dos itens (b.1) e (b.2) não são iguais! E nem deveriam! Afinal um fala de área e outro não. Quando achamos a área negativa, isso significa que nesse intervalo f x está abaixo do eixo x ! Ou seja, o cuidado que a gente tem que ter ao usar as integrais como ferramentas no cálculo de áreas não existe no item (b.1) mas existe no item (b.2)

Resposta

a = 1

∫ - 1 2 f x d x = 5 9

A = 13 3

Podemos ver que os resultados dos itens (b.1) e (b.2) não são iguais! E nem deveriam! Afinal um fala de área e outro não. Quando achamos a área negativa, isso significa que nesse intervalo f x está abaixo do eixo x ! Ou seja, o cuidado que a gente tem que ter ao usar as integrais como ferramentas no cálculo de áreas não existe no item (b.1) mas existe no item (b.2)

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