Calcule a área determinada pela curva y = sen ⁡ ( x ) em [ - π , π ] .

(a) 4

(b) 6

(c) 3

(d) 2

(e) 1

Passo 1

“Área determinada pela curva” é simplesmente a integral da curva! Ou seja, temos que resolver o seguinte:

A = ∫ - π π sen ⁡ ( x )   d x

Lembrando que a integral do s e n ⁡ ( x ) é - c o s ⁡ ( x ) . E fica faltando só substituir os limites de integração.

A = - cos ⁡ π - ( - cos ⁡ - π )

A = - cos ⁡ π + cos ⁡ - π

Sabendo que cos ⁡ π = cos ⁡ - π = - 1 , ficamos com:

A = 0

Opa, mas isso não está nas opções. Pois é, é importante lembrar disso. A integral considera que quando a área está abaixo do eixo x , ela é uma “área negativa”. Mas quando a questão pede a área, nós não precisamos seguir essa convenção.

Passo 2

Como corrigir esse problema? Bom, a resposta está nessa imagem da nossa curva:

Temos a mesma área dos dois lados, o problema é que a integral “entende” que a área da esquerda é negativa. Uma solução pra isso é fazer o seguinte: achar a área em um dos lados e multiplicar por dois!

Ou seja:

A = 2 ∫ 0 π sen ⁡ ( x )   d x

E agora que já conhecemos a integral:

A 2 = - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0 = 2

A = 4

Pronto! Agora sim temos uma resposta coerente.

Resposta

Letra (a).

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