1.3 Seja R a região finita do plano, delimitada pelas curvas y = x ,   y = 0 e x + 2 y = 8 . A área dessa região é representada pela expressão integral:

  1. ∫ 0 8 x + 4 - x 2 d x
  2. ∫ 0 4 x d x - ∫ 4 8 4 - x 2 d x
  3. ∫ 0 2 y 2 + 2 y - 8 d y
  4. ∫ 0 2 8 - 2 y - y 2 d y

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bom? Nessa questão nós temos que encontrar a integral que representa uma área determinada por duas curvas.

Para montar essa integral, primeiro a gente vai precisar visualizar que a área é essa que quero integrar, identificandos os seus limites de integração.

Então para começar, vamos traçar as curvas dadas e encontrar essa região.

Bora lá!

Passo 2

A primeira função que o problema deu foi y = x . E a função raiz quadrada tem essa cara aqui:

Já a função x + 2 y = 8 é uma reta!

Juntando as duas ficamos com,

Agora precisamos saber onde as curvas se interceptam para calcular a área.

Passo 3

Para igualar as curvas, vamos isolar x da segunda equação

x = 8 - 2 y

Igualando a y = x → x = y 2 . Ficamos com

8 - 2 y = y 2

y = 2

Agora vamos achar quanto equivale esse ponto em x

x = y 2 = 2 2 = 4

Nossa região ficou assim,

Bora montar a nossa integral?

Passo 4

Repara que a integração na variável y será mais simples, pois identificamos mais fáceis os limites de integração (a região vai de y = 0 até y = 2 ).

Com isso, nossa integral é a área entre as curvas x = y 2 e x = 8 - 2 y no intervalo 0,2 . Ficando a seguinte integral

A = ∫ 0 2 8 - 2 y - y 2 d y

Opaaa! A resposta correta é a letra D de dinossauro!

Resposta

Letra D

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