Calcule a área da região interior à lemniscata r 2 = 2   c o s ( 2 θ ) e exterior à circunferência de centro na origem e raio unitário.

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Precisamos calcular a área da seguinte região delimitada pela lemniscata

r 2 = 2   c o s ( 2 θ )           ( 1 )

e uma circunferência unitária, a região é tal que

A leminiscata é uma curva que parece o símbolo de infinito! Em coordenadas polares temos que uma circunferência tem equação dada por

r 2 = 1           ( 2 )

a área de curvas polares é calculada usando a seguinte relação

A = 1 2 ∫ θ 0 θ [ r ( θ ) ] 2 d θ

Como aqui temos a área entre duas curvas temos que fazer a diferença entre as áreas para obter apenas o desejado! Para facilitar vamos usar alguns argumentos de simetria! Vem comigo!

Passo 2

Observando nossa figura podemos perceber que devemos retirar a área do círculo da área da lemniscata, apenas tendo cuidado para selecionar o intervalo desejado, em nosso caso, o pedacinho da lemniscata que escapa do círculo em ambas as extremidades (como ambos têm o mesmo tamanho vamos calcular a área para um deles e multiplicar o resultado por dois). O ângulo inicial e final é dado pela interseção da leminscata com o círculo, portanto, da equação ( 1 ) e da equação ( 2 ) temos que

1 2 = 2   c o s ( 2 θ )

Portanto, queremos um ângulo tal que

c o s ( 2 θ ) = 1 / 2

este ângulo é dado por

θ = ± π / 6

a área será então

A 2 = A l e m n i s c a t a - A c i r c u n f e r ê n c i a = 1 2 ∫ - π / 6 π / 6 2   c o s ( 2 θ ) d θ - 1 2 ∫ - π / 6 π / 6 d θ

Vamos calcular as integrais agora!

Passo 3

As integrais são da forma

∫ - π / 6 π / 6 c o s ( 2 θ ) d θ = 1 2 s e n ( 2 θ ) | - π / 6 π / 6 = 3 2

e, também

∫ - π / 6 π / 6 d θ = π 3

De forma que nossa área é dada por

A 2 = 3 2 - π 6

ou seja, temos que

A = 3 - π / 3

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A = 3 - π / 3

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval