Em cada item, determine a área da região sombreada.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a área entre as curvas de y = 1 x , y = x 3 e x = 8 , que é a nossa área em azul. O primeiro limite horizontal é definido na interseção entre as curvas, ou seja, para:

1 x = x 3

Verificando os limites horizontais, vamos ter os limites de integração [ a ,   b ] da integral de área da região, que vai ser dada pela diferença entre a função g ( x ) que está em cima e a função f ( x ) que está embaixo, ou seja:

A = ∫ a b g x - f x   d x

Onde, nesse caso, g x = x 3 e f x = 1 x .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar descobrindo o ponto onde as curvas se interseptam, fazendo:

1 x = x 3

Elevando os dois lados ao cubo:

1 x 3 = x

x 3 ∙ x = 1 → x 4 = 1

x = ± 1

Como nossa região tá no primeiro quadrante, vamos escolher apenas o x positivo. Assim, sabemos que a região é limitada horizontalmente por x = 1 e x = 8 e podemos montar nossa integral:

A = ∫ a b g x - f x   d x

A = ∫ 1 8 x 3 - 1 x   d x

Separando a integral da diferença na diferença das integrais, temos:

A = ∫ 1 8 x 3   d x - ∫ 1 8 1 x   d x

Usando a regrinha da potência para integrar ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ) o primeiro termo e sabendo que ∫ 1 x d x = ln ⁡ x , temos:

A = x 1 3 + 1 1 3 + 1 1 8 - ln ⁡ x 1 8

A = 3 4 x 4 3 1 8 - ln ⁡ 8 + ln ⁡ 1

Como ln ⁡ 1 = 1 , vamos obter:

A = 3 4 8 4 3 - 1 4 3 - ln ⁡ 8

Calculando as raízes e usando as propriedades do logaritmo:

A = 3 4 ( 16 - 1 ) - ln ⁡ ( 2 3 )

A = 45 4 - 3 ln ⁡ 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 45 4 - 3 ln ⁡ 2

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