Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

UFF - Cálculo IIA - P1 Rodrigo Salomão 2012.2 – 1

Calcule a área da região compreendida entre o gráfico de

f x = x 3 1 - x 2

E o eixo x , com x ∈ 0 , 1 2

Passo 1

Po o primeiro passo é sempre tentar ver onde a curva está acima do eixo x e onde está abaixo! O legal é tentar esboçar o gráfico. Aqui é um pouco complicado fazer isso, mas sabemos que essa função só se anula onde o numerador for 0, ou seja, x = 0 .

Agora segue aqui comigo:

x < 0 → x 3 < 0

Então se x for negativo, f x < 0 . Agora se x for positivo, então f x > 0 . Então a gente pode pensar em algo assim:

Repara que o denominador não pode zerar, e nele também temos uma raíz quadrada. Então a função não existe para x ≥ 1 . Porém como nosso limite de integração superior é ½ , não vamos nos preocupar com isso.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Legal! Estamos vendo que a nossa área está acima do eixo x , então vamos usar a seguinte fórmula:

A = ∫ 0 1 2 f x d x = ∫ 0 1 2 x 3 1 - x 2 d x

Passo 3

Agora temos que resolver essa integral aí em cima. Essa integral sai por substituição trigonométrica, concorda? Vamos resolver a primitiva, voltar para x e aplicar os limites de integração:

∫ x 3 1 - x 2 d x

Bem, esse é o caso a 2 - x 2 , a = 1 .

Temos que fazer,

x = a ⋅ sen ⁡ θ = sen ⁡ θ

d x = cos ⁡ θ d θ

Substituindo na integral dada.

∫ s e n 3 θ 1 -   s e n 2   θ   cos ⁡ θ d θ

= ∫ s e n 3 θ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

= ∫ s e n 3 θ   d θ = ∫ s e n θ   s e n 2 θ   d θ

= ∫ s e n θ   ( 1 - cos 2 ⁡ θ )   d θ

Passo 4

Agora, usando a substituição

u = cos ⁡ θ

d u = sen ⁡ θ d θ

Então a integral fica assim,

= -   ∫ 1 - u 2 d u  

= - u - u 3 3 = u 3 3 - u  

Voltando para θ :

∫ s e n 3 θ   d θ = cos 3 ⁡ θ 3 - c o s θ

Passo 5

Usando o triângulo retângulo para converter o θ na variável inicial:

c o s θ = 1 - x 2 a = 1 - x 2

Então temos que

∫ x 3 1 - x 2 d x = 1 - x 2 3 3 - 1 - x 2

Passo 6

Agora vamos aplicar os limites de integração:

A = ∫ 0 1 2 x 3 1 - x 2 d x = 1 - x 2 3 3 - 1 - x 2     0 1 2

A = 1 - 1 4 3 3 - 1 - 1 4 - 1 - 0 3 3 + 1 - 0

O que vai dar:

A = 3 2 3 3 - 3 2 - 1 3 + 1

A = 3 3 8 3 - 3 2 + 2 3 = 3 8 - 4 3 8 + 2 3

⇒ A = 2 3 - 3 3 8   u . a .

Resposta

A = 2 3 - 3 3 8   u . a .

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