Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Área entre Curvas

Dado o gráfico de f x = x 3 - 2 x 2 + 2 abaixo, determine a área compreendida entre os gráficos de f e g x = x 2 - 2 x + 2 , para 0 ≤ x ≤ 2 .

Passo 1

Para desenhar essa parábola g x = x 2 - 2 x + 2 no gráfico já dado e descobrir a área entre eles é interessante que achemos possíveis raízes e os pontos de interseção. Primeiro, falando de raízes, podemos analisar dessa maneira: se a parábola tem a boca virada para cima e descobrirmos que seu ponto de mínimo (derivando e igualando a 0 ) tem y positivo saberemos que ela não tem raiz, justo? Então vamos fazer isso:

g ' x = 2 x - 2 = 0 → x = 1

Não existem raízes, então. A parábola é inteiramente positiva. Continuando, procuramos interseções agora, o que achamos igualando as funções, né?

f x = g ( x )

x 3 - 2 x 2 + 2 = x 2 - 2 x + 2

x 3 - 3 x 2 + 2 x = 0

x x 2 - 3 x + 2 = 0

x x - 2 x - 1 = 0

x = 0   ; x = 1   ; x = 2   ( I n t e r s e ç õ e s )

Vamos desenhá-lo então, juntando todas essas informações:

Repara, a área que procuramos é essa marcada em verde. Até x = 1 temos azul por cima e apartir daí até x = 2 o vermelho g ( x ) fica por cima. Armamos a integral, então:

A = ∫ 0 1 [ f x - g x ] d x + ∫ 1 2 [ g x - f x ] d x

= ∫ 0 1 x 3 - 2 x 2 + 2   - x 2 - 2 x + 2 d x + ∫ 1 2 x 2 - 2 x + 2 - x 3 - 2 x 2 + 2   d x

= ∫ 0 1 x 3 - 3 x 2 + 2 x d x + ∫ 1 2 - x 3 + 3 x 2 - 2 x d x

= x 4 4 - x 3 + x 2 [ 1 0 + - x 4 4 + x 3 - x 2 [ 2 1

= 1 4 - 1 + 1 - 0 4 - 0 + 0 + - 16 4 + 8 - 4 - - 1 4 + 1 - 1

= 1 4 - 0 + 0 - - 1 4 = 1 2

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Resposta

A = 1 2

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