Calcule a área da região em destaque na figura abaixo.

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Precisamos calcular a área da seguinte região

O cálculo da área pode ser feito utilizando integração dupla como

A = ∫ R ∫ d x d y

Ou seja, é apenas o trabalho de calcular os limites de integração! Neste caso é uma escolha do que integrar primeiro sem precisar de mudanças de coordenadas! Saca só!

Passo 2

Note que temos que a variável x vai da parábola y = x 2 (note que estamos em valores positivos de x ) até uma reta, a equação da reta pode ser obtida utilizando as informações da imagem, temos que a reta passa pela origem, e também que

y ( 8 ) = 9

portanto, podemos identificar uma equação de reta como

y ( x ) = 9 8 x

desta forma, temos que a variável x obedece o intervalo

y < x < 8 9 y

e a variável y está entre as constantes

4 < y < 9

A integral se torna então

A = ∫ R ∫ d x d y = ∫ 4 9 ∫ y 8 9 y d x d y

Como a região não é retangular, a ordem de integração importa, e devemos resolver primeiro a integral em x , pois seus limites dependem de y ! Bora lá!

Passo 3

Temos que a integral em x é da forma

∫ y 8 9 y d x = x | y 8 9 y = 8 9 y - y

De forma que a área será dada por

A = ∫ 4 9 ∫ y 8 9 y d x d y = ∫ 4 9 ( 8 9 y - y ) d y

ela pode ser separada em duas integrais da forma

A = 8 9 ∫ 4 9 y   d y - ∫ 4 9 y d y

Essas integrais podem ser identificadas como

∫ 4 9 y   d y = 1 2 y 2 | 4 9 = 65 2

e, analogamente

∫ 4 9 y d y = 2 3 y 3 / 2 | 4 9 = 38 3

E, finalmente, a área pode ser escrita como

A = 8 9 65 2 - 38 3 = 260 9 - 38 3

ou simplesmente

A = 146 3

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A = 146 3

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