Esboce a região delimitada pelas curvas e decida se a integração deve ser feito com relação a variável x ou y. Desenhe um retângulo típico com sua altura e largura. Finalmente ache a área de integração.

I) y = sec 2 ⁡ ( x ) ,   y = cos ⁡ x ,     x = + π 2   e x = - π 2

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??? Bora Responder Aí essa questão.

Seguinte... Temos, das funções dadas, o seguinte gráfico.

É notável que seria muito mais fácil se fizéssemos a integração com respeito ao eixo x né?! Se não fosse assim teríamos que trocar a função pro eixo y, redefinir os limites e aquela bagunça toda...

Bora pro próximo passo?

Passo 2

Obrigado por vir

Veja que a função é simétrica dos dois lados, então para acharmos o valor total da área basta acharmos a área de um lado e multiplicarmos por 2, certo?!

Sendo assim, veja que a regiçao é limitada superior e inferiormente por funções. Bom, como já sabemos então, a formula de integração desse tipo é:

A = ∫ a b ( f s ( x ) - f i ( x ) )   d x

Os índices s e i significam superior e inferior, respectivamente.

Passo 3

A variável x varia de 0 até π 3 que é quando as curvas se igualam a reta x = + π 3 .

Assim, já aplicando a multiplicação por 2:

A = 2 ∫ 0 π 3 sec 2 ⁡ x - cos ⁡ x d x

A = 2 tan ⁡ x - sin ⁡ x 0 π 3

A = 2 3 - 3 2

A = 2 3 - 3

A = 3

Resposta

O gráfico das funções está no passo 1.

A variável é x, e dita o porquê no passo 1.

A área é:

A = 3

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