Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

ME03) A área da região delimitada pelos gráficos de f x = x 2 - 2 x e g x = x é

  1. 9
  2. 3
  3. 4 3
  4. 9 2
  5. - 7 3

Passo 1

Bora lá, a primeira coisa a fazer é checar pontos interessantes das curvas. No caso, esses pontos vão ser os pontos onde elas encontram os eixos e elas mesmas. Pra f x , temos:

f x = x 2 - 2 x = x x - 2

A função f x vai encontrar então o eixo x nos pontos:

f x = x x - 2 = 0

x = 0   e   x = 2

E vai encontrar o eixo y quando:

f 0 = 0 . 0 - 2 = 0

Pra g x , como é só uma reta, temos que a origem 0,0 é o único ponto de interseção com os eixos. Beleza, agora que vimos isso, vamos ver quando essas curvas vão se encontrar. Igualando elas:

f x = g x

x x - 2 = x

x - 2 = 1

x = 3

Como g x é uma reta e f x um polinômio de segundo grau, que parece um copo com boca pra cima, já que temos + 1 multiplicando o termo de maior grau, esboçamos o gráfico:

Olhando pro nosso esboço, podemos escrever a área da região delimitada (marcada em cinza) em duas parcelas: uma de 0 até 2 e outra de 2 até 3 . Vamos fazer isso porque na primeira parcela parte da área está abaixo do eixo x . Vamos ter:

A = ∫ 0 2 x   d x + - ∫ 0 2 x 2 - 2 x   d x + ∫ 2 3 x   d x - ∫ 2 3 x 2 - 2 x   d x

O que é o mesmo que:

A = ∫ 0 2 x   d x - ∫ 0 2 x 2 - 2 x   d x + ∫ 2 3 x   d x - ∫ 2 3 x 2 - 2 x   d x

A = ∫ 0 3 x   d x + ∫ 0 3 - x 2 + 2 x   d x

A = ∫ 0 3 - x 2 + 3 x   d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é mão na massa galera. A integral vai ficar:

A = ∫ 0 3 - x 2 + 3 x   d x =   - x 3 3 + 3 x 2 2 x = 0 x = 3

A = - 3 3 3 + 3 . 3 2 2 - - 0 3 3 + 3 . 0 2 2

A = - 27 3 + 27 2 =   - 54 6 + 81 6

A = 27 6 = 9 2

Resposta

L e t r a   D

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