Calcule a área delimitada entre as curvas:

y = 1 - x 2           ;           y = 1 + x 2           ;           y = - 3 x 2 + 2             ;         x = 1

Passo 1

Começamos desenhando as duas parábolas:

Ok, até aí sem muitos problemas. Agora que devemos encaixar aquela reta ali as devidas interseções. Bom, se você igualar esse gráfico ao gráfico da parábola superior, olha como fica:

  y = 1 + x 2 = - 3 x 2 + 2

x 2 + 3 x 2 - 1 = 0

x + 2 x - 1 2 = 0       →           x = - 2 ; x = 1 / 2

Bom, se eu adicionar ainda o gráfico x = 1 uma vertical paralela ao eixo y passando em x = 1 :

Já tenho ali a minha área definida, então.

Bom, agoraeu só preciso analisar o seguinte:

de 0 até 1 / 2 eu tenho a parábola de cima sobre a parábola de baixo

de 1 / 2 até 1 tenho a reta não vertical em cima da parábola de baixo. Assim:

A = ∫ a b f cima - f baixo d x

A = ∫ 0 1 / 2 f parábola de cima - f parábola de baixo d x + ∫ 1 / 2 1 f reta não vertical - f parábola de baixo d x

A = ∫ 0 1 2 1 + x 2 - 1 - x 2 d x + ∫ 1 2 1 - 3 x 2 + 2 - 1 - x 2 d x

Passo 2

Integrando uma de cada vez:

∫ 0 1 2 1 + x 2 - 1 - x 2 d x = ∫ 0 1 2 2 x 2 d x = 2 x 3 3 0 1 / 2 = 1 12

Passo 3

Agora a segunda parte

∫ 1 2 1 - 3 x 2 + 2 - 1 - x 2 d x = ∫ 1 2 1 - 3 x 2 + 1 + x 2 d x = - 3 x 2 4 + x + x 3 3 1 / 2 1

= - 3 / 4 + 1 + 1 3 - - 3 16 + 1 2 + 1 24 = 7 12 - 17 48 = 11 48

Passo 4

Juntando tudo

∫ 0 1 2 1 + x 2 - 1 - x 2 d x + ∫ 1 2 1 - 3 x 2 + 2 - 1 - x 2 d x = 1 12 + 11 48 = 15 48 = 5 16

Resposta

A = 5 16

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Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que
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