Sejam b um número real positivo e R a região do primeiro quadrante do plano cartesiano situada abaixo dos gráficos de y = x / 2 e y = b / x 2 . Seja S o sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo x, cujo volume é igual a V. Sabe-se que V = 2 π . Calcule o valor de b .

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Primeiro passo pra gente fazer nessas questões de área de curvas é saber onde elas vão se encontrar. Você se lembra como vê isso?

Basicamente a gente precisa igualar as duas curvas pra saber o ponto. Depois que encontramos esses pontos, vamos precisar qual é o valor da curva nesses pontos e aí sim, vamos ter uma área limitada.

Os passos seguintes eu te mostro ao correr da questão!

Passo 2

Primeiro vamos igualar essas paradas aí!!!

x 2 = b x 2

x 3 = 2 b

x 3 - 2 b = 0

Ou seja, as curvas se encostam quando:

x = 2 b 3

Passo 3

Portanto, agora precisamos saber qual é a área que esse sólido vai ter e para isso basta fazermos a diferença das integrais das curvas, sacou?

R = ∫ 0 2 b 3 x 2 d x - ∫ 0 2 b 3 b x 2 d x

R = x 2 + b x 3 0 2 b 3

R = 2 b 2 3 + b 2 b

R = 2 b 2 3 + 1 2

Passo 4

Para o cálculo do volume precisamos pegar essa área e rotacionar ela em torno do eixo x dentro dos intervalos dados. Porém lembrando sempre que vamos precisar colocar um fator π na frente da nossa integral.

V = π ∫ 0 2 b 3 2 b 2 3 + 1 2 d x = 2 π  

2 b 2 3 + 1 2 2 b 3 = 2

Resolvendo para b, obtemos que :

b = 6

Resposta

𝑏=6

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