Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

USP, Cálculo 1, P-SUB - 2016, Questão 6

Calcule a área do conjunto A :

A = x , y R 2 ; 2 2 x 3 2 ,   0 y 1 1 - x 2 3 2

Passo 1

A área vai ser dada pela integral:

2 2 3 2 1 1 - x 2 3 2 - 0 d x = 2 2 3 2 1 1 - x 2 3 d x

Esse termo 1 - x 2 vai ser nossa deixa pra usar uma substituição trigonométrica:

x = sen θ d x = cos θ d θ

1 - x 2 = 1 - sen 2 θ = cos 2 θ = cos θ

Adaptando os limites de integração:

x = sen θ θ = arcsen x

x = 2 2 θ = π 4

x = 3 2 θ = π 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então a integral vai ficar:

2 2 3 2 1 1 - x 2 3 d x = π 4 π 3 1 cos 3 θ cos θ d θ

= π 4 π 3 1 cos 2 θ d θ = π 4 π 3 sec 2 θ d θ

= tg θ π 4 π 3 = tg π 3 - tg π 4

Passo 3

Temos que

tg π 3 = sen π 3 cos π 3 = 3 2 1 2 = 3

tg π 4 = sen π 4 cos π 4 = 2 2 2 2 = 1

Então nossa integral vai dar

3 - 1

Resposta

3 - 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas