Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

UNICAMP, Cálculo 1, P3 - 2015.1 - 6ª Noturno, Questão 3

Considere as funções f x = x 2 e g x = 2 x 2 + 1 . Calcule a área da região limitada pelos gráficos de f e g no intervalo [ - 1,1 ] .

Passo 1

A gente sempre começa esse tipo de questão tentando entender a disposição gráfica das funções. Na prática, eu até sei como fica o f x , mas não sei como é o desenho do g x . A questão é saber dentro da região quem fica por cima e quem fica por baixo, para armar a integral da área corretamente, dessa maneira não precisaríamos nem do desenho. Vamos procurar onde os gráficos se interceptam, ou seja, onde f x = g x :

x 2 = 2 x 2 + 1

x 4 + x 2 - 2 = 0

y = x 2 y 2 + y - 2 = 0

y + 2 y - 1 = 0

y = - 2 ; y = 1

x 2 = - 2

x 2 = 1 x = ± 1

Descobrimos que os gráficos se tocam justamente nos limites do intervalo pedido no enunciado, em x = - 1 e x = 1 . Dessa forma, para saber qual gráfico está por cima e qual gráfico está por baixo no intervalo dado basta substituir um ponto qualquer no intervalo - 1,1 e ver qual dos dois gráficos tem maior valor, sendo esse o que ficará por cima:

f 0 = 0 2 = 0   ; g 0 = 2 0 2 + 1 = 2

Assim, o gráfico superior é g x e o inferior é f x no intervalo dado, como na figura abaixo, onde o gráfico vermelho é g e o azul é f :

i m a g e m   r e t i r a d a   d o   g a b a r i t o   o f i c i a l

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pelas informações que chegamos, a área seria dada pela seguinte integral:

A = a b g x - f x d x = - 1 1 2 x 2 + 1 - x 2 d x

Vamos resolver agora! Um termo integrado por definição como polinômio e o outro como arco tangente:

- 1 1 2 x 2 + 1 - x 2 d x = 2 arctg x - x 3 3 [ 1 - 1

= 2 arctg 1 - 1 3 - 2 arctg - 1 - - 1 3

= 4 arctg 1 - 2 3

= 4 π 4 - 2 3

= π - 2 3

Resposta

A = π - 2 3   u . a .

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