Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G1 - 2015.2, Questão 4

Considere a região R delimitada pelas curvas x = y 4 e y = 2 - x , y = 0

( a ) Esboce a região R .

b Determine uma integral ou soma de integrais em x   que represente a área desta região.

c Determine uma integral ou soma de integrais em y que represente a área desta região

( d ) Calcule a área da região R .

Passo 1

( a ) Vamos um por um: imaginando que y = x 2 seria uma parábola em pé, y = x 4 seria o quadrado dessa parábola, ou seja, uma parábola mais esticada, trocando os valores de x e y , o x = y 4 vai ser como uma parábola deitada.

O y = 2 - x vai ser uma meia-parábola, crescendo para o lado negativo de x , com sua raiz em x = 2 . Além disso, o y = 0 será uma reta horizontal em cima do eixo x , onde y vale 0 .

Juntando tudo, ficamos assim, com essa região de x = 0 até x = 2 :

c

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Passo 2

( b ) Olhando o gráfico, a gente vê que podemos achar essa área como a integral de y = x 4 de 0 até 1 e de 2 - x de 1 até 2 , dado que o ponto de encontro dos gráficos é 1,1 :

2 - x = y ,       x = y 4

2 - y 4 = y 2

y 4 + y 2 - 2 = 0

y 2 - 1 y 2 + 2 = 0

y = ± 1   ; y = ± 2 i

Desconsiderando valores complexos e dado que nossa região só tem y 0 , o único valor satisfatório é y = 1 , que gera x = 1 .

Logo,

A = 0 1 x 4   d x + 1 2 2 - x   d x

Passo 3

( c ) Olhando o gráfico, a gente vê que podemos achar essa área como a integral de 2 - y 2

y = 2 - x x = 2 - y 2

Menos x = y 4 de 0 até 1 , dado que o ponto de encontro dos gráficos é 1,1 , como já calculado:

Logo,

A = 0 1 2 - y 2 - y 4   d y

Passo 4

Resolvendo a segunda integral:

A = 0 1 2 - y 2 - y 4   d y = 0 1 - y 4 - y 2 + 2   d y

= - y 5 5 - y 3 3 + 2 y [ 1 0

= - 1 5 5 - 1 3 3 + 2 1 - - 0 5 - 0 3 + 2 0

= - 1 5 - 1 3 + 2

= 22 15   u . a .

Resposta

a

b   A = 0 1 x 4   d x + 1 2 2 - x   d x

c   A = 0 1 2 - y 2 - y 4   d y

d   A = 22 15   u . a .

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