Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

UNICAMP, Cálculo 1, Exame - 2012.2 - Matutino, Questão 2

Determine a área abaixo da função

f x = 1 x 2 - 16

No intervalo 4 x 5

Passo 1

Para essa não é necessário nem fazer o esboço. Como raiz quadrada sempre gera um número positivo, então f x 0 a área formada será a simples integral da função de x = 4 até x = 5 .

A = 4 5 1 x 2 - 16 d x

Só tem um detalhe. x = 4 não está definido no domínio dessa função, então tratamos de uma integral imprópria. Vou fazer a integral para um c qualquer e depois calcular o limite quando c 4 :

A = c 5 1 x 2 - 16 d x

Esse termo aí lembra a integral por substituição trigonométrica. Para esse formato x 2 - a 2 a substituição deve ser x = a sec θ . Vamos calcular a fórmula da integral e depois desfazemos a substituição e substituímos os limites de integração originais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolvendo pela substituição trigonométrica:

x = a sec θ = 4 sec θ d x = 4 sec θ tg θ d θ

1 x 2 - 16 d x = 4 sec θ tg θ d θ 4 sec θ 2 - 16

= 4 sec θ tg θ d θ 16 tg 2 θ = 4 sec θ tg θ d θ 4 tg θ

= sec θ d θ = ln sec θ + tg θ

Passo 3

Como originalmente, x = 4 sec θ e sabemos que tg θ = 16 sec 2 θ - 16 4 = x 2 - 16 4 .

Assim, a função achada é essa aqui:

ln sec θ + tg θ = ln x 4 + x 2 - 16 4 [ 5 a

= ln 5 4 + 25 - 16 4 - ln a 4 + a 2 - 16 4

Agora calculando o limite de a 4 :

lim a 4 ln 5 4 + 3 4 - ln a 4 + a 2 - 16 4

= ln 2 - ln 4 4 + 4 2 - 16 4

= ln 2 - ln 1

= ln 2

E essa é nossa área.

Resposta

A = ln 2   u . a .

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