Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

UERJ - Cálculo 2 - Lista de Integrais Professora Renata - 32d

Determine a área da região R , onde:

R é a região limitada pela curva y = x 3 + x , pelo eixo x e pelas retas x = - 2 e x = 1 .

Passo 1

Primeiro eu vou pegar essa função e abrir melhor com o x em evidência:

y = x ( x 2 + 1 )

Olha, o x tem raiz em 0 . Já o x 2 + 1 não tem nenhuma raiz e é sempre positivo. Ou seja, ao que parece essa função do terceiro grau só tem raiz em 0 e é negativa quando x é negativo e positiva quando ele é positivo. Essas informações já são suficientes para esboçar algo assim:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Olha lá uma parte em que y está acima do eixo x e outra que está abaixo. Então o que faremos? Vamos separar em duas regiões! A primeira está à esquerda do eixo y e vamos chamar de A 1 e a segunda, que está a direita, vamos chamar de A 2 . Portanto,

A T O T = A 1 + A 2

Passo 3

Primeiro vamos analisar a área A 1 . Nessa área y é menor que 0, então vamos fazer

A 1 = - - 2 0 y d x = - - 2 0 x 3 + x d x

A 1 = - x 4 4 + x 2 2 - 2 0 = - 2 4 4 + - 2 2 2 = 6

Passo 4

Agora para a área A 2 aquela que está à direita do eixo y , temos que a função é positiva. Então,

A 2 = 0 1 y d x = 0 1 x 3 + x d x

A 2 = x 4 4 + x 2 2 0 1 = 1 4 4 + 1 2 2 = 3 4

Passo 5

Agora a gente só precisa somar os dois resultados, ou seja

A T O T = A 1 + A 2 = 6 + 3 4 = 27 4

Resposta

A T O T = 27 4   u . a

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