Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região

(12) y = 2 x 2 , y = 8 x 2 , y = 8 , x ≤ 0

Passo 1

Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?

O objetivo principal dessa questão é calcular a área de uma região por meio da integração. Para isso precisamos esboçar as funções para entender a delimitação do local. Por fim, vamos desenhar o retângulo com sua altura e largura.

Primeiramente, devemos esboçar as funções. Veja a figura abaixo que representa a interseção entre elas.

Bom, nesse caso, precisamos calcular toda área entre y = 8 e y = 2 x 2 e subtrair a área entre y = 8 e y = 8 x 2 .

Passo 2

Devemos obter a interseção entre as curvas, ou seja, os pontos em que essas funções se cruzam.

Interseção da Área 1: y = 8 e y = 2 x 2

Igualando as funções

2 x 2 = 8

x 2 = 8 2

x = 4 = ± 2

Interseção da Área 2: y = 8 e y = 8 x 2

Igualando as funções

8 x 2 = 8

x 2 = 8 8

x = 1 = ± 1

Passo 3

O próximo passo é calcular a área da região por meio da integração. Sabemos que a área é dada por:

A = ∫ a b [ f x - g x ] d x

Em que, a f(x) é a função que delimita a parte superior da área e g(x) é a função que limita a parte inferior da área. Como mostra a figura abaixo

Vamos calcular então duas áreas

Área 1:

A 1 = ∫ - 2 0 8 - 2 x 2 d x

Calculando a integral

A 1 = 8 x - 2 x 3 3 - 2 0

A 1 = - 8 - 2 - 2 - 2 3 3

A 1 = 16 - 16 3

A 1 = 10,66

Área 2:

A 1 = ∫ - 1 0 8 - 8 x 2 d x

Calculando a integral

A 1 = 8 x - 8 x 3 3 - 1 0

A 1 = - 8 - 1 - 8 - 1 3 3

A 1 = 8 - 8 3

A 1 = 5,33

Logo, a área que queremos calcular será

A = A 1 - A 2 = 10,66 - 5,33

A = 5,33

Até a próxima!

Resposta

A = 5,33

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