Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

PUCRIO, Cálculo 1 - MAT1161, G1 - 2018.1, Questão Q03

Sabendo que

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

É a equação de uma circunferência de centro x 0 , y 0 e raio r , considere a região plana

R = x , y I R 2 x - 1 2 + y 2 1   ; y x - 1 2 + 1   ; y - x + 4   ; x 1   ; y 0

  1. Esboce abaixo a região R . Indique explicitamente em seu desenho as coordenadas de três pontos que pertençam à fronteira da região.
  2. Calcule a área da região R utilizando o método que preferir.

Passo 1

Caraca que região complicada! Mas vamos com calma viu? Primeiro, vamos tirar cada uma das inequações de dentro de R e analisar separadamente:

x - 1 2 + y 2 1

y x - 1 2 + 1

y - x + 4

x 1

y 0

Agora vamos ver as interseções entre essas regiões! Começando com as duas mais simples:

x 1

y 0

Opa, essas inequações restringem bastante! A interseção dos dois vai ficar:

Ou seja, já sabemos que R está no primeiro quadrante, mas não nele todo em! Não só não vale x < 1 como temos outras restrições pra checar. Agora vamos ver essa curva:

x - 1 2 + y 2 1

Oras, não é que ela se parece com o enunciado? Se:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

É o modelo de uma circunferência, então a curva:

x - 1 2 + y 2 = 1

É nada mais nada menos que uma circunferência de centro 1,0 e raio 1 :

Mas como queremos:

x - 1 2 + y 2 1

E não:

x - 1 2 + y 2 = 1

Estamos falando então da região exterior ao círculo! A região vai ser então:

E a interseção das três regiões que vimos até agora vai ser:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, já vimos 3 de 5 inequações. Vamos ver as outras duas:

y x - 1 2 + 1

y - x + 4

Vamos começar com a primeira e analisar a curva:

y = x - 1 2 + 1

A primeira coisa que a gente pode tentar fazer com essa malandra aí é ver suas interseções com os eixos. Partiu então. Se y = 0

x - 1 2 + 1 = 0

x - 1 2 = - 1

Eta, então essa função não tem raíz! Afinal, não tem como qualquer número ao quadrado dar negativo! Agora, se x = 0 , temos:

y = 0 - 1 2 + 1 = 2

Então o ponto 0,2 faz parte dessa curva. Agora, vamos ver um pouco sobre sua aparência: concavidade, crescimento e descrescimento! Pra isso, que tal abrir o polinômio? Saca só:

y = x - 1 2 + 1

y = x 2 - 2 x + 1 + 1

y = x 2 - 2 x + 2

Como a primeira e a segunda derivada estão relacionadas, respectivamente, com o crescimento/decrescimento e a concavidade de uma função, a gente deriva então e fica com:

y ' = 2 x - 2

y ' ' = 2

Analisando a primeira derivada, a gente vê que é uma reta! Oras, retas sempre passam alguma vez pelo eixo x ! Vamos ver quando nesse caso:

2 x - 2 = 0 x = 1

Então em x = 1 vamos ter um ponto crítico dessa curva. Como:

Vamos escolher dois pontos: um um pouco antes e outro um pouco depois de x = 1 . Escolhendo x = 0 e x = 2 então, temos:

y ' 0 = 2 . 0 - 2 = - 2 < 0

y ' 2 = 2 . 2 - 2 = 2 > 0

Show! Nosso ponto x = 1 é então um ponto de mínimo. Quanto a concavidade, dá uma olhada na segunda derivada:

y ' ' = 2 > 0

E não é que ela é constante? E positiva? Sendo assim, a concavidade vai ser sempre pra cima! Temos tudo pra esboçar o gráfico da curva agora! Bora lá:

E olha só! A circunferência e a curva se encontram no ponto 1,1 ! Agora que falamos da curva, vamos falar da região:

y x - 1 2 + 1

Como o símbolo é de , queremos a região abaixo da curva, beleza? Então vamos ter:

E a interseção de tudo que temos até agora fica:

Passo 3

Bora fechar o esboço então com a última região:

y - x + 4

Que veja bem: é uma reta! Esboçar retas é mais tranquilo! Como tem um - 1 multiplicando o x , a inclinação da reta é negativa! E as interseções com os eixos, vão ser:

x = 0 y = 4 4,0

y = 0 x = 4 4,0  

O esboço da reta vai ficar:

Opa, outra interseção em! Dessa vez da reta com o polinômio, ao invés do polinômio com a circunferência! Pra gente saber em que ponto essas curvas se cruzam, basta a gente igualar y de cada uma, combinado? Vamos lá então:

y = x 2 - 2 x + 2

y = - x + 4

Igualando:

x 2 - 2 x + 2 = - x + 4

x 2 - x - 2 = 0

E olhaí, outro polinômio de segundo grau! E sendo igualado à 0 ? Isso cheira à Bháskara. Seja:

x 2 - x - 2 = a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

Onde x 1,2 são raízes do polinômio, usamos a fórmula de Bháskara para achar:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = 1 ± 1 + 8 2 = 1 ± 3 2 =   2 - 1

Portanto:

x 2 - x - 2 = x - 2 x + 1 = 0 x = 2 - 1

Como não estamos prestando atenção em valores negativos de x , então o ponto de interseção ocorre em x = 2 ! E veja bem, se:

y = - x + 4

E x = 2 , então o ponto de interseção vai ser:

y = - 2 + 4 = 2

2,2

Só que aqui temos de novo uma região né, então vamos ver o sinal depois de y : um sinal de menor ou igual! O que queremos então é a parte de baixo da reta, o esboço dessa região vai ser:

E fazendo a interseção dessa região também com todo o resto até agora, fechamos a região R ! Saca só como ela fica:

Passo 4

Pra gente fechar a questão e partir pro abraço, bora calcular a área de R . Como somos livres pra calcular da forma que quisermos, vamos ser práticos, beleza? Pra começar, vamos dividir a região R em duas:

E veja só! A área marrom clara é a área de um triângulo. Sendo assim, calculamos:

A M a r r o m   C l a r o = b h 2

A M a r r o m   C l a r o = 4 - 2 2 2 = 2

Agora a área marrom escura o papo é outro: vamos precisar integrar! Mas veja bem, a área marrom pode ser entendida como a área roxa menos a área preta:

Então integrar mesmo a gente só vai precisar na área roxa! Até porque, a área preta é 1 4 da área de um círculo! Bora calcular então:

A M a r r o m   E s c u r o = A R o x a - A P r e t a

Pra área roxa, temos:

A R o x a = 1 2 x 2 - 2 x + 2   d x

A R o x a =   x 3 3 - x 2 + 2 x x = 1 x = 2 = 8 3 - 4 + 4 - 1 3 - 1 + 2 = 4 3

E pra área preta, temos:

A P r e t a = 1 4 π r 2 = π 4

A área marrom escura vai ficar então:

A M a r r o m   E s c u r o = 4 3 - π 4

A área total:

A = A M a r r o m   C l a r o +   A M a r r o m   E s c u r o

A = 2 + 4 3 - π 4

Resposta

  1. A = 2 + 4 3 - π 4

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