Sejam f , g : I R → ] 0 , + ∞ [ tais que lim x → + ∞ ⁡ f x g x = + ∞ então:

  1. Teremos sempre que lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞
  2. Teremos sempre que lim x → + ∞ ⁡ f x g x = + ∞
  3. Podemos ter lim x → + ∞ ⁡ f x g x = 0
  4. Teremos sempre que lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ g x = + ∞
  5. Podemos ter lim x → + ∞ ⁡ f x g x = - ∞

Passo 1

Show, bora começar. Antes de mais nada, uma forma legal da gente resolver essa questão é pensar nos casos possíveis em que uma função sobre a outra pode tender à + ∞ . Da propriedade dos limites, temos que:

lim x → + ∞ ⁡ f x g x = lim x → + ∞ ⁡ f x   lim x → + ∞ ⁡ g x   = + ∞

Beleza, se usarmos essa propriedade, podemos ver alguns casos interessantes que dão na mesma. Saca só:

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞ lim x → + ∞ ⁡ g x = L > 0 → lim x → + ∞ ⁡ f x g x = + ∞ L = + ∞                 C a s o   1

Exemplo:

lim x → + ∞ ⁡ f x = - ∞ lim x → + ∞ ⁡ g x = L < 0 → lim x → + ∞ ⁡ f x g x = - ∞ L = + ∞               C a s o   2

Exemplo:

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞ lim x → + ∞ ⁡ g x = + ∞ → lim x → + ∞ ⁡ f x g x = + ∞ + ∞ = + ∞           [ C a s o   3 ]

Exemplo:

lim x → + ∞ ⁡ f x = - ∞ lim x → + ∞ ⁡ g x = - ∞ → lim x → + ∞ ⁡ f x g x = - ∞ - ∞ = + ∞     C a s o   4

Exemplo:

lim x → + ∞ ⁡ f x = L > 0 lim x → + ∞ ⁡ g x = 0 → lim x → + ∞ ⁡ f x g x = L 0 = + ∞     C a s o   5

Exemplo:

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞ lim x → + ∞ ⁡ g x = 0 → lim x → + ∞ ⁡ f x g x = + ∞ 0 = + ∞     C a s o   6

Exemplo:

Passo 2

Verificando a letra a e a letra d

As opções a e d são bem parecidas, por isso vamos olhar elas juntas. Saca só:

  • a) Teremos sempre que lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞
  • d) Teremos sempre que lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ g x = + ∞

As duas opção estão falando que teremos sempre alguma coisa. Já é pra ficar desconfiado de opção que impõe assim, então vamos checar elas.

Na letra a , só está sendo falado de f x . De fato, pelo que vimos no passo anterior, existem diversos casos em que lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞ e também lim x → + ∞ ⁡ f x g x = + ∞ , como são os casos 1, 3 e 6. Mas bem, os casos 2, 4 e 5 tem lim x → + ∞ ⁡ f x ≠ + ∞ e mesmo assim lim x → + ∞ ⁡ f x g x = + ∞ . Então já riscamos essa letra porque ela ta errada!

Agora, pra letra d , temos algo mais errado ainda! A letra d afirma a mesma coisa que a a e ainda adiciona que lim x → + ∞ ⁡ g x = + ∞ sempre! E tem casos inclusive que mesmo que lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞ seja verdade, lim x → + ∞ ⁡ g x = + ∞ não é, como o caso 1 e 6. Então essa ai também a gente vai dar aquela boa riscada, porque está errada!

Passo 3

Verificando as letras b, c e e

As letras que vamos verificar agora são:

  • b) Teremos sempre que lim x → + ∞ ⁡ f x g x = + ∞
  • c) Podemos ter lim x → + ∞ ⁡ f x g x = 0
  • e) Podemos ter lim x → + ∞ ⁡ f x g x = - ∞

Show de bola, partiu analisar. Como em todas as letras temos produtos das funções, vamos ver como limite do produto fica em cada caso:

C a s o   1 →   lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞ lim x → + ∞ ⁡ g x = L > 0 → lim x → + ∞ ⁡ f x g x = + ∞ ∙ L =   + ∞   C a s o   2 →   lim x → + ∞ ⁡ f x = - ∞ lim x → + ∞ ⁡ g x = L < 0 → lim x → + ∞ ⁡ f x g x = - ∞ ∙ L =   + ∞ C a s o   3 →   lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞ lim x → + ∞ ⁡ g x = + ∞ → lim x → + ∞ ⁡ f x g x = + ∞ ∙ + ∞ =   + ∞ C a s o   4 →   lim x → + ∞ ⁡ f x = - ∞ lim x → + ∞ ⁡ g x = - ∞ → lim x → + ∞ ⁡ f x g x = - ∞ ∙ - ∞ =   + ∞ C a s o   5 →   lim x → + ∞ ⁡ f x = L > 0 lim x → + ∞ ⁡ g x = 0 → lim x → + ∞ ⁡ f x g x = L ∙ 0 =   0 C a s o   6 →   lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞ lim x → + ∞ ⁡ g x = 0 → lim x → + ∞ ⁡ f x g x = + ∞ ∙ 0 =   0

E olha só olha lá! Dois casos o limite do produto não dá + ∞ e em nenhum caso o produto dá - ∞ . Show de bola, isso elimina a opção b e e! Resta só a letra c !

Resposta

L e t r a   C

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2
Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ⁡ f x + g ( x ) pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.
Para o limite lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .