1.1. Para cada função dada, determine o domínio e faça um esboço dele:

e) f x , y = x y x

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos obter o domínio da função f x , y = x y x e obter um esboço do seu gráfico.

Parece tranquilo? 👀

Para obter o domínio de uma função, temos que analisar a função em si e se perguntar quais os possíveis valores as variáveis podem admitir para que a função seja definida no espaço real.

Legal, né? 😊

Já para obter o gráfico da função, podemos usar algumas arte manhas, como por exemplo obter algumas curvas de níveis da função fazendo f x , y = k e definindo algum valor para k onde f seja definido, ou também fixar alguma das variáveis a um constante e esboçar seu gráfico em duas dimensões no plano onde a variável foi fixada.

Entendeu? Bora lá! 😉

Passo 2

Analisando a função f , temos

f x , y = x y x

Vemos que se trata de uma fração, portanto sabemos que para uma fração ser definida seu denominador tem que ser diferente de 0

y x ≠ 0

E também o termo y x tem que ser maior que 0 para x ∈ R .

Por exemplo, se colocarmos na calculadora - 0,5 1,3 , provavelmente ela vai explodir... mentira, ela não vai, mas ela não vai nos dar um resultado.

Portanto, se y x ≠ 0 e y x > 0 , o único jeito é se

y > 0

Escrevendo isso em uma forma mais bonitinha, temos

D o m f = f x , y ∈ R 2 y > 0

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora temos que obter o gráfico da função f .

Pra isso vamos usar o método de fixar uma variável e esboçar a curva obtida no plano da variável que foi fixada.

Se fizermos x = - 4 , temos

x = - 4 → f y = - 4 y - 4 = - 4 y 4

Para x = - 2

x = - 2 → f y = - 2 y - 2 = - 2 y 2

Para x = 1

x = 1 → f y = 1 y

Para x = 2

x = 2 → f y = 2 y 2

Para x = 5

x = 5 → f y = 5 y 5

Esboçando essas curvas no espaço tridimensional em seus respectivos planos de x , temos

Com essas curvas, podemos imaginar como a função se parece, assim esboçando seu gráfico, temos

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

D o m f = f x , y ∈ R 2 y > 0

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Verificar que as equações vetoriais r → w = w ,w 2 ,2 ≤ w ≤ 3 e r → t = t ,t , 4 ≤ t ≤ 9 representam a mesma curva.
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1