1.1. Para cada função dada, determine o domínio e faça um esboço dele:

f) f x , y = ln ⁡ x y 2 - x 3

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema queremos obter o domínio da função f x , y = ln ⁡ x y 2 - x 3 e obter um esboço do seu gráfico.

Parece tranquilo? 👀

Para obter o domínio de uma função, temos que analisar a função em si e se perguntar quais os possíveis valores as variáveis podem admitir para que a função seja definida no espaço real.

Legal, né? 😊

Já para obter o gráfico da função, podemos usar algumas arte manhas, como por exemplo obter algumas curvas de níveis da função fazendo f x , y = k e definindo algum valor para k onde f seja definido, ou também fixar alguma das variáveis a um constante e esboçar seu gráfico em duas dimensões no plano onde a variável foi fixada.

Entendeu? Bora lá! 😉

Passo 2

Vamos começar analisando a função f x , y = ln ⁡ x y 2 - x 3 .

Vemos que a função f se trata de uma função logarítmica e com base nas características da função f x = ln ⁡ x sabemos que esta só é definida se x > 0 , ou seja, se o conteúdo dentro do l n for maior que 0 .

Trazendo isso para o nosso problema, temos que

x y 2 - x 3 > 0

Desenvolvendo essa inequação, vamos chegar em

x y 2 - x 2 > 0

x y - x y + x > 0

Reescrevendo isso no domínio, vamos obter

D o m f = f x , y ∈ R 2 x y - x y + x > 0

Tudo certo? 😉

Passo 3

Agora vamos tentar esboçar o gráfico de f

Aqui vamos usar o método dos níveis fazendo f x , y = k

f x , y = ln ⁡ x y 2 - x 3 = k

Elevando os dois lados por e ...

e ln ⁡ x y 2 - x 3 = e k

x y 2 - x 3 = e k

y 2 - x 2 = e k x

Assim para k = - 1 , temos

y 2 - x 2 = e - 1 x = 1 x e

Para k = 0

y 2 - x 2 = e 0 x = 1 x

Para k = 2

y 2 - x 2 = e 2 x

Esboçando essas curvas no plano x y

Quanto mais curvas esboçarmos mais fácil é visualizar como a função se comporta. Assim, podemos imaginar como a função se comporta

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

D o m f = f x , y ∈ R 2 x y - x y + x > 0

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:a) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ - 1,1
Verificar que as equações vetoriais r → w = w ,w 2 ,2 ≤ w ≤ 3 e r → t = t ,t , 4 ≤ t ≤ 9 representam a mesma curva.
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1