Caso existam, defina as funções ( f + g ) , f g , ( f ∘ g ) e ( g ∘ f ) nos casos dados a seguir. Em cada caso, determine o domínio da função resultante.

( c )   f ( x ) = | x | ; g ( x ) = | x - 3 | .

Passo 1

Oiiie, tudo certinho contigo?

O enunciado nos dá as seguinte funções

f ( x ) = | x | e g ( x ) = | x - 3 |

e nos pede para calcular ( f + g ) ,   f g ,   ( f ∘ g )   e   ( g ∘ f ) . É bastante direto calcular estas expressões! Mas, só precisamos tomar cuidado quando formos analisar a função resultante em busca de seu domínio! Saca só!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular

( f + g ) = | x | + | x - 3 |

temos que f : ℝ → ℝ e que g : ℝ → ℝ , então, necessariamente, temos que o domínio da função resultante é

D 1 = { ℝ }

agora, fazendo a razão entre as funções

f g = | x | | x - 3 |

note que no denominador não podemos ter um valor nulo, sendo assim, quando x = 3 , a função f / g não é bem determinada, e o domínio será

D 2 = { ℝ |   x ≠ 3 }

Vamos calcular agora as nossas compostas! Vem comigo!

Passo 3

Primeiro, temos que

f ∘ g = f ( g ( x ) ) = | | x - 3 | |

como temos o módulo de uma função módulo, pela definição de módulo, isso nos resulta em

f ∘ g = | x - 3 |

o domínio da função composta f ( g ( x ) ) é a imagem da função g ( x ) , ou seja, temos que

D 3 = { ℝ |   x ≥ 0 }

vamos fazer agora a análise da outra composta, temos que

g ∘ f = g ( f ( x ) ) = | | x | - 3 |

da mesma forma, temos que o domínio desta função é a imagem da função f ( x ) , portanto, temos que

D 4 = { ℝ |   x ≥ 0 }

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f + g = | x | + | x - 3 | e D 1 = { ℝ }

f g = | x | | x - 3 | e D 2 = { ℝ |   x ≠ 3 }

f ∘ g = | x - 3 | e D 3 = { ℝ |   x ≥ 0 }

g ∘ f = | | x | - 3 | e D 4 = { ℝ |   x ≥ 0 }

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