Considere a função z = f x ,   y = y x - 1 .

a) Determine o domínio e a imagem.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o domínio da função z = f ( x ,   y ) . Como essa é uma função de duas variáveis, nós precisamos encontrar a região do plano onde a função está definida, esse será o nosso domínio.

E para determinarmos essa região do plano, correspondente ao domínio, devemos sempre garantir que:

- nas frações o denominador não pode valer zero;

- dentro das raízes quadradas não pode ter número negativo;

- o valor dentro de um logaritmo tem que ser estritamente positivo.

Então, vamos primeiro procurar por restrições. Depois disso, para determinar a imagem da função, vamos analisar qual é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir dentro do domínio encontrado.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x ,   y = y x - 1

Nós temos uma fração e nós sabemos que o denominador da fração não pode ser zero, então vamos ter:

x - 1 ≠ 0

Isolando x :

x ≠ 1

Isso significa que nosso domínio pode assumir qualquer valor, exceto x = 1 . Assim, o nosso domínio será:

D f = x ,   y ∈ R 2   |     x ≠ 1

Como não temos nenhuma restrição em relação aos valores que f ( x ,   y ) pode assumir (respeitando o domínio da função), podemos dizer que sua imagem é o conjunto de todos os número reais, ou seja:

I m f = R

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D f = x ,   y ∈ R 2   |     x ≠ 1

I m f = R

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