1. Dada a função f definida por

f x = { - x ,           x ,           2 - x ,           0 ,         s e       s e       s e       s e       x ≤ 0   0 < x ≤ 1   1 < x < 2   x ≥ 2    

  1. Trace o gráfico de f e determine o D f e I m f .
  2. Discuta a continuidade de f nos números 0 , 1 e 2 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho com você? Bora comigo resolver essa questão aqui pra começar a esquentar nossos estudos?

E a primeira coisa que temos que fazer é entender o que a questão está querendo que a gente faça. Ela diz que existe uma função f , e joga isso aqui no nosso colo:

f x = { - x ,           x ,           2 - x ,           0 ,         s e       s e       s e       s e       x ≤ 0   0 < x ≤ 1   1 < x < 2   x ≥ 2    

Eu sei que é esquisita, mas calma. Essa aí é uma função dada por partes. Repara só nas condições de cada linha, elas dizem pra gente que no intervalo descrito, a função terá um comportamento específico. Por exemplo, na primeira linha temos

f x = - x

Mas a condição diz que isso só é válido para valores de x ≤ 0 . Sacou?

Já na segunda linha, temos outra regra para outro intervalo, e assim por diante.

Na letra a) no problema teremos que traçar o gráfico de f e determine o D f , que é o domínio da função e I m f que é a sua imagem.

Já no item b) vamos discutir a continuidade da função nos números 0 , 1 e 2 .

Vamos então nos preocupar primeiro em desenhar o gráfico da função, assim vamos conseguir as outras respostas analisando o gráfico construído. Beleza?

Vem comigo que eu vou te ajudar com isso!

Passo 2

Vamos nos concentrar em desenhar o gráfico na nossa função. E como ela é dada por partes, nós já podemos separar nosso plano cartesiano de acordo com os intervalos de cada parte. Veja:

Cada cor representa um intervalo, então agora basta olharmos a cara da função em cada um deles, ok?!

Nossa função é essa aqui:

f x = { - x ,           x ,           2 - x ,           0 ,         s e       s e       s e       s e       x ≤ 0   0 < x ≤ 1   1 < x < 2   x ≥ 2    

E o primeiro intervalo é para valores de x ≤ 0 , onde a função assume a forma de

f x = - x

Ou seja, vamos desenhar essa função só na parte azul no plano.

Ahhh, vela que vamos acrescentar uma bolinha fechada no final do gráfico porque o sinal que limita o intervalo é um , isso significa que o x = 0 obedece a essa lei de formação da função.

Agora o segundo intervalo é de 0 < x ≤ 1 , e a função assume a forma de

f x = x

Que é nossa função identidade.

Agora o terceiro intervalo é de 1 < x < 2 , e a função assume a forma de

f x = 2 - x

Aqui o intervalo é aberto, pois x < 2 , então usaremos uma bolinha aberta no final do gráfico, que fica dessa forma:

E por fim, vamos desenhar o último intervalo para x ≥ 2 , em que nossa função será:

f x = 0

E terminamos nosso gráfico da seguinte forma:

Agora o que nos resta e responder as outras perguntas feitas pelo problema.

Passo 3

Na letra a) também é pedido para que a gente determine o D f , que é o domínio da função e I m f que é a sua imagem.

Olhando para o gráfico podemos dizer que o domínio da função é todo o conjunto Real, isso porque o domínio são todos os valores de x em que a função está definida. Para confirmar isso, você pode pegar qualquer valor de x e procurar o valor da função nele que você irá encontrar, logo podemos dizer que:

D f = R

Já a imagem da função é o conjunto de valores que a função pode assumir, e para isso também podemos olhar para o gráfico e perceber que a função não assume valores menores do que zero. Assim dizemos que:

I m f = { y ∈   R | y ≥ 0 }

Maravilha, agora vamos para a letra b)

Passo 4

Na letra b) o problema pede pra gente discutir a continuidade da função nos números 0 , 1 e 2 , e nós também podemos fazer isso olhando para o gráfico que desenhamos. Isso porque podemos dizer que uma função é contina quando seu gráfico não apresenta nenhum salto ou buraco, e é isso que acontece com o gráfico da nossa função. A linha vermelha que o representa é toda contínua.

Assim, dizemos que a função é contínua em todo intervalo real incluindo os números 0 , 1 e 2 .

E depois de tudo isso, fechamos nosso problema.

Partiu pro próximo!!!

Resposta

D f = R

I m f = { y ∈   R | y ≥ 0 }

b) Analisando o gráfico vemos que a função é contínua em todo intervalo real incluindo os números 0 , 1 e 2 .

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