Determine o domínio em R e o conjunto-solução da inequação:

x > x - 2

Passo 1

Vamos começar pelo domínio. Precisamos que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero, então: x ≥ 0

Então, nosso domínio será:

D = x ∈ R : x ≥ 0

Passo 2

Calculado o domínio, vamos resolver a inequação. Para isso, começamos achando as raízes da equação correspondente:

x = x - 2

Elevando ao quadrado:

x = x - 2 2

x = x 2 - 4 x + 4

x 2 - 5 x + 4 = 0

Vamos então encontrar as raízes. Temos uma equação na forma: a x 2 + b x + c = 0

Com:

a = 1 b = - 5 c = 4

Sendo:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores:

x = 5 ± - 5 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 4 2 ⋅ 1 = 5 ± 9 2 = 5 ± 3 2

Assim, para cada sinal: x 1 = 5 + 3 2 = 4

x 2 = 5 - 3 2 = 1

Passo 3

Agora, retornamos a nossa inequação:

x > x - 2

E deslocamos para ficar com o zero à direita:

x - x + 2 > 0

Passo 4

E testamos para os intervalos truncados pelas raízes, ou seja:

x < 1

1 < x < 4

x > 4

Para o primeiro, x < 1 , escolhemos x = 1 / 4 que satisfaz e está dentro do domínio, assim:

x - x + 2 ⟹ 1 4 - 1 4 + 2 ⟹ 1 2 - 1 4 + 2 > 0

Ou seja, temos:

x - x + 2 > 0

Para x < 1 . Nosso interesse é:

x - x + 2 > 0

Justamente o que queremos. Então x < 1 satisfaz a nossa inequação. Vamos testar os outros intervalos.

Analogamente, vamos agora para 1 < x < 4 . Escolhemos então x = 2 que está dentro do domínio também:

x - x + 2 ⟹ 2 - 2 + 2 ⟹ 2 > 0

Ou seja, temos:

x - x + 2 > 0

Para 1 < x < 4 . Nosso interesse é:

x - x + 2 > 0

Que também satisfaz nossa inequação. Então o intervalo 1 < x < 4 faz parte da solução.

Agora, para completar, testamos x > 4 . Escolhemos x = 16 para facilitar na raiz:

x - x + 2 ⟹ 16 - 16 + 2 ⟹ 4 - 16 + 2 < 0

Logo, temos:

x - x + 2 < 0

Para x > 4 . Nosso interesse é:

x - x + 2 > 0

Então, este intervalo não nos serve.

Logo a nossa solução vai ser dada por

x < 1   e   1 < x < 4

Que, considerando x = 1 é equivalente a:

x < 4

Agora ajustamos excluindo os pontos que não pertencem ao domínio. Como temos:

D = x ∈ R : x ≥ 0

Então teremos solução no intervalo:

0 ≤ x < 4

S = x ∈ R :   0 ≤ x < 4

Ou, se preferir:

S = x ∈ R :   x ∈ 0 , 4

Resposta

D = x ∈ R : x ≥ 0

S = x ∈ R :   x ∈ 0,4

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