Determine o domínio em R e o conjunto-solução da inequação:

3 x - 1 3 - 2 ≤ 0

Passo 1

Vamos começar pelo domínio. Como temos aqui uma raiz cubica, não há restrição ao que está dentro dela. Então nosso domínio será: D = x ∈ R

Passo 2

Calculado o domínio, vamos resolver a inequação. Para isso, começamos achando as raízes da equação correspondente:

3 x - 1 3 - 2 = 0

Jogando 2 para o outro lado para facilitar e elevando ao cubo:

3 x - 1 = 2 3

3 x - 1 = 8

Isolando x , encontramos a raiz:

x = 9 3 = 3

Passo 3

Agora, retornamos a nossa inequação que já está com o zero à direita:

3 x - 1 3 - 2 ≤ 0

Passo 4

E testamos para os intervalos truncados pela raiz, ou seja:

x < 3

x > 3

Para o primeiro, x < 3 , escolhemos x = 0 que satisfaz e está dentro do domínio, assim:

3 x - 1 3 - 2 = 0 ⟹ 0 - 1 3 - 2 ⟹ - 1 - 2 = - 3 < 0

Ou seja, temos:

3 x - 1 3 - 2 ≤ 0

Para x < 3 . Nosso interesse é:

3 x - 1 3 - 2 ≤ 0

Então nossa inequação é satisfeita para x < 3 .

Analogamente, vamos agora para x > 3 . Escolhemos então x = 4 que está dentro do domínio também:

3 x - 1 3 - 2 = 0 ⟹ 12 - 1 3 - 2 ⟹ 11 3 - 2 =

Como:

11 3 > 8 3 = 2

Então:

11 3 - 2 > 0

Ou seja, temos:

3 x - 1 3 - 2 > 0

Para x > 3 . Nosso interesse é:

3 x - 1 3 - 2 ≤ 0

Que não nos interessa. Então, para x < 3 a inequação não é satisfeita. Logo a nossa solução vai ser dada por x < 3 excluindo os pontos que não pertencem ao domínio e considerando o operador de .

Nosso domínio é:

D = x ∈ R

Então não temos nenhum ponto que não pertence ao domínio em x < 3 , então, só corrigimos:

x ≤ 3

E pronto:

S = x ∈ R :   x ≤ 3

Ou, se preferir:

S = x ∈ R :   x ∈ - ∞ , 3

Resposta

D = x ∈ R

S = x ∈ R :   x ∈ - ∞ , 3

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