Determine o domínio e resolva a seguinte equação em R :

x + 1 = 8 - 3 x + 1

Passo 1

Vamos encontrar o domínio primeiro. Como temos uma raiz, o valor que está dentro dela não pode ser negativo, pois teremos raiz de um número negativo que não é real. Assim, para a primeira raiz:

x + 1 ⟹ x + 1 ≥ 0 ⟹ x ≥ - 1

OK. Para a outra raiz:

3 x + 1 ⟹ 3 x + 1 ≥ 0 ⟹ x ≥ - 1 3

No primeiro caso, precisamos de x ≥ - 1 e no segundo, x ≥ - 1 / 3 . Como precisamos atender os dois casos ao mesmo tempo, precisamos que x ≥ - 1 / 3 que é interseção dos dois. Assim: D = x ∈ R : x ≥ - 1 / 3

Passo 2

Agora que encontramos o domínio, precisamos isolar os radicais. Vamos fazer isso:

x + 1 = 8 - 3 x + 1

x + 1 + 3 x + 1 = 8

Passo 3

Com o radical isolado, elevamos os dois lados ao quadrado:

x + 1 + 3 x + 1 = 8

x + 1 + 3 x + 1 2 = 8 2

Distribuindo:

x + 1 2 + 2 x + 1 3 x + 1 + 3 x + 1 2 = 64

Cortamos os radicais ao quadrado e juntamos o produto de raízes numa raiz só:

x + 1 + 2 x + 1 3 x + 1 + 3 x + 1 = 64

Vamos simplificar, deixando a parte com a raiz do jeito que está:

2 x + 1 3 x + 1 + 4 x + 2 = 64

Passo 4

Agora vamos isolar novamente o radical restante:

2 x + 1 3 x + 1 = 64 - 4 x - 2

x + 1 3 x + 1 = 31 - 2 x

Passo 5

Com o radical isolado, elevamos tudo ao quadrado novamente sem medo:

x + 1 3 x + 1 = 31 - 2 x

x + 1 3 x + 1 = 31 - 2 x 2

Distribuindo:

x + 1 3 x + 1 = 31 2 - 2 ⋅ 31 ⋅ 2 x + 4 x 2

3 x 2 + x + 3 x + 1 = 961 - 124 x + 4 x 2

Passo 6

Agora, deixamos tudo de um lado só para ficar com uma equação de segundo grau:

x 2 - 128 x + 960 = 0

Agora é resolver essa equação. Temos uma equação na forma:

a x 2 + b x + c = 0

Com:

a = 1 b = - 12 8 c = 960

Sendo:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores: x = 12 8 ± 12 8 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 960 2 = 12 8 ± 1 6384 - 3840 2 = 120 ± 12544 2

x = 120 ± 112 2

Considerando cada um dos sinais, vamos ter:

x 1 = 12 8 + 112 2 = 2 40 2 = 1 20

x 2 = 12 8 - 112 2 = 16 2 = 8

Passo 7

Estes serão nossos candidatos à solução, para ter certeza, vamos ter que verificar:

x + 1 = 8 - 3 x + 1

Para x = 120 :

120 + 1 = 8 - 3 ⋅ 120 + 1

121 = 8 - 361

11 = 8 - 19

11 = - 11

O que não é verdade, logo não é válido. Para x = 8 :

x + 1 = 8 - 3 x + 1

8 + 1 = 8 - 3 ⋅ 8 + 1

9 = 8 - 25

3 = 8 - 5

3 = 3

Que é verdade, logo é solução mesmo. Assim, vamos ter: S = 8

Resposta

D = x ∈ R : x ≥ - 1 / 3

S = 8

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