Determine o domínio e resolva a seguinte equação em R :

4 x - 3 + 5 x - 1 = 15 x + 4

Passo 1

Vamos encontrar o domínio primeiro. Como temos uma raiz, o valor que está dentro dela não pode ser negativo, pois teremos raiz de um número negativo que não é real. Assim, vamos olhar para cada raiz. Começando com 4 x - 3 :

Precisamos que:

4 x - 3 ≥ 0

x ≥ 3 4

Agora, para 5 x - 1 :

5 x - 1 ≥ 0

x ≥ 1 5

Para 15 x + 4 :

15 x + 4 ≥ 0

x ≥ - 4 15

Pegamos a interseção dos três que será justamente x ≥ 3 / 4 . Logo, teremos:

D = x ∈ R : x ≥ 3 4

Passo 2

Agora, isolar os radicais não vai ajudar em muita coisa, então vamos elevar tudo ao quadrado:

4 x - 3 + 5 x - 1 = 15 x + 4

4 x - 3 + 5 x - 1 2 = 15 x + 4 2

Para o lado esquerdo, vamos distribuir:

4 x - 3 + 5 x - 1 2 = 4 x - 3 2 + 2 4 x - 3 5 x - 1 + 5 x - 1 2

4 x - 3 + 2 4 x - 3 5 x - 1 + 5 x - 1

Ficando tudo:

4 x - 3 + 2 4 x - 3 5 x - 1 + 5 x - 1 = 15 x + 4 2 = 15 x + 4

Passo 3

Então, vamos então simplificar tudo isolando o radical sem distribuí-lo:

9 x - 4 + 2 4 x - 3 5 x - 1 = 15 x + 4

2 4 x - 3 5 x - 1 = 6 x + 8

4 x - 3 5 x - 1 = 3 x + 4

Passo 4

E, então, elevamos ao quadrado novamente para eliminar de vez o radical:

4 x - 3 5 x - 1 = 3 x + 4

4 x - 3 5 x - 1 2 = 3 x + 4 2

Olhando para o lado esquerdo, teremos:

4 x - 3 5 x - 1 2 = 4 x - 3 5 x - 1

Agora sim, podemos distribuir:

4 x - 3 5 x - 1 = 20 x 2 - 4 x + - 15 x + 3 = 20 x 2 - 19 x + 3

Olhando para o lado direito:

3 x + 4 2 = 3 x 2 + 2 3 x 4 + 4 2

= 9 x 2 + 24 x + 16

Ficando tudo:

4 x - 3 5 x - 1 2 = 12 x + 4 2

20 x 2 - 19 x + 3 = 9 x 2 + 24 x + 16

Passo 5

Vamos então deixar tudo na forma da equação de segundo grau colocando de um lado só

11 x 2 - 43 x - 13 = 0

Que é uma equação de segundo grau na forma:

a x 2 + b x + c = 0

Com:

a = 11 b = - 43 c = - 13

Assim, por Bhaskara, teremos:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores:

x = + 43 ± 43 2 - 4 ⋅ 1 1 ⋅ - 13 2 ⋅ 11 = + 43 ± 1849 + 572 22

Sim, tá ficando bem feio!

x = + 43 ± 2421 22

Vamos tentar fatorar essa raiz aí. Na esquerda temos o número que estamos fatorando e a direita os termos que estamos dividindo:

2421 3 807 3 269

E 269 é um número primo que não pode mais ser fatorado. Assim, podemos escrever nossa raiz na forma:

2421 = 3 2 ⋅ 269 = 3 2 269 = 3 269

Ficando:

x = + 43 ± 3 269 22

Para cada sinal, teremos:

x 1 = 43 + 3 269 22

x 2 = 43 - 3 269 22

Passo 6

Estes serão nossos candidatos a solução. Resta agora verificar se são solução mesmo. Como trata-se de um número indigesto, vamos usar o valor numérico. Temos que:

3 269 ≈ 49,2

Assim, vamos ter:

x 1 = 43 + 3 269 22 ≈ 4,19

x 2 = 43 - 3 269 22 ≈ - 0,28

Olhe só, temos que x 2 < 0 , sendo que, pelo domínio, precisamos que:

x ≥ 3 4 > 0

Logo, x 2 já está descartado. Para x 1 , temos que:

4,19 > 3 4 = 0,75

Então ainda está na disputa. Substituindo numericamente:

4 x 1 - 3 + 5 x 1 - 1 = 15 x 1 + 4

3,71 + 4,467 ≈ 8,17

8,17 = 8,17

Logo:

x 1 = 43 + 3 269 22

Vai ser solução para o problema e teremos:

S = 43 + 3 269 22

Resposta

D = x ∈ R : x ≥ 3 4

S = 43 + 3 269 22

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