Determine o domínio e resolva a seguinte equação em R :

1 + 3 x + 5 = x

Passo 1

Vamos encontrar o domínio primeiro. Como temos uma raiz, o valor que está dentro dela não pode ser negativo, pois teremos raiz de um número negativo que não é real. Assim, como temos 3 x + 5 , precisamos que:

3 x + 5 ≥ 0 ⟹ x ≥ - 5 3

Ou seja, x deverá ser maior ou igual a 5 / 3 . Show. Essa é a única restrição, então teremos: D = x ∈ R : x ≥ - 5 3

Passo 2

Agora que encontramos o domínio, precisamos isolar o radical. Ficamos com:

1 + 3 x + 5 = x

3 x + 5 = x - 1

Passo 3

Com o radical isolado, elevamos os dois lados ao quadrado para eliminá-lo:

3 x + 5 = x - 1

3 x + 5 2 = x - 1 2

3 x + 5 = x - 1 2

Distribuímos:

3 x + 5 = x 2 - 2 x + 1

Passo 4

Agora, vamos isolar tudo de um lado só para ficar na forma da equação de segundo grau:

x 2 - 5 x - 4 = 0

Que é uma equação na forma:

a x 2 + b x + c = 0

Com:

a = 1 b = - 5 c = - 4

Assim, por Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores, encontramos:

x = 5 ± - 5 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 4 2 ⋅ 1 = 5 ± 25 + 16 2 = 5 ± 41 2

Essa raiz não é exata, então vamos deixar assim mesmo. Para cada sinal: x 1 = 5 + 41 2

x 2 = 5 - 41 2

Prazer, esses serão nossos candidatos a solução do problema.

Passo 5

Resta agora verificar se são solução mesmo por meio da substituição na equação. Para

x 1 = 5 + 41 2

Temos:

1 + 3 x + 5 = x

1 + 3 5 + 41 2 + 5 = 5 + 41 2

3 5 + 41 2 + 5 = 3 + 41 2

15 + 3 41 2 + 10 2 = 3 + 41 2

25 + 3 41 2 = 3 + 41 2

Agora teremos que ter cuidado. Para resolver isso aí, vamos ter que elevar ao quadrado, mas isso vai fazer com que o sinal de menos seja perdido caso haja, o que pode nos dar um falso positivo. Vamos verificar o sinal de cada lado então.

No lado esquerdo temos apenas um radical que terá resultado positivo. No lado direito, temos uma soma de termos sempre positivos, então o resultado será positivo também. Como o resultado é positivo em ambos lados, podemos elevar ao quadrado e, se der igual, será solução.

Elevando ao quadrado:

25 + 3 41 2 = 9 + 6 41 + 41 4

25 + 3 41 2 = 25 + 3 41 2

Que é verdade. Então é solução. Para o outro valor, vamos encontrar:

x 2 = 5 - 41 2

1 + 3 5 - 41 2 + 5 = 5 - 41 2

3 5 - 41 2 + 5 = 3 - 41 2

15 - 3 41 2 + 10 2 = 3 - 41 2

25 - 3 41 2 = 3 - 41 2

Vamos olhar novamente para o sinal. Não sabemos exatamente o valor de 41 , mas sabemos que a raiz nos pergunta: que número que elevado ao quadrado dá 41? Então, vamos elevar números próximos ao quadrado para ter uma estimativa.

Temos que:

6 2 = 36 < 41

7 2 = 49 > 41

Assim, esperamos que:

6 < 41 < 7

Assim, teremos que 3 < 41 , logo: 3 - 41 2 < 0

Olhá só! Temos um radical que dará positivo à esquerda da equação:

25 - 3 41 2

Com um valor negativo à direita da equação:

3 - 41 2

Logo, temos dois números não nulos de sinais distintos em cada lado do sinal de igualdade, o que não pode ser verdade. Assim, teremos que:

x 2 = 5 - 41 2

Não vai ser solução. Se tivéssemos elevado ao quadrado a equação:

25 - 3 41 2 = 3 - 41 2

Perderíamos a informação quanto ao sinal, o que levaria a um falso positivo quanto à solução. Então fica a dica: sempre verifique o sinal de cada lado da igualdade. Se tiverem o mesmo sinal, beleza. Caso contrário, já pode descartar 😉

Finalmente, também temos que:

5 + 41 2 > - 5 3

Logo, está no domínio e então:

S = 5 + 41 2

Resposta

D = x ∈ R : x ≥ - 5 3

S = 5 + 41 2

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