Encontre uma restrição g para cada função dada de modo que essa restrição admita uma inversa h = g - 1 . Em cada caso, especifique o domínio e o contradomínio da inversa, e também, sua lei de formação, nos casos seguintes:

( b )   f ( x ) = x x 2 + 1

Passo 1

Eaew, belezinha?

O que o enunciado quer que achemos uma restrição sobre a função

f ( x ) = x x 2 + 1

e, então usemos a restrição definida para encontrar uma inversa, especificando seu domínio e contradomínio! Aqui, o processo varia de caso a caso, então! Vem comigo!

Passo 2

Para esta função temos que a restrição é

g = x 2 + 1 > 0

já que não podemos ter raízes negativas e nem divisões por zero! Note que o domínio da restrição é D = { x ∈ ℝ | x 2 + 1 > 0 } , e o contradomínio é C D = { ℝ ,   g ( x ) > 0 } , no entanto, note que as condições são válidas para todo x ∈ ℝ , já que x 2 + 1 não tem raiz real e nunca é negativo! A inversa h pode ser obtida fazendo g ( x ) = x e x = h , temos que

x = h 2 + 1

de forma que

h ( x ) = ± x - 1

temos que g ( x ) é sempre um número positivo e maior que 1 , portanto, o domínio de h ( x ) é tal que

D = { x ∈ ℝ | x > 1 }

No entanto, não há limitações sobre o seu contradomínio, podemos escrevê-lo como

C D = { ℝ }

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

g = x 2 + 1 > 0 , h ( x ) = ± x - 1 , D = { x ∈ ℝ | x > 1 } e C D = { ℝ }

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