Encontre uma restrição g para cada função dada de modo que essa restrição admita uma inversa h = g - 1 . Em cada caso, especifique o domínio e o contradomínio da inversa, e também, sua lei de formação, nos casos seguintes:

( e )   y = f ( x ) = ( x - 1 ) ( x + 5 )

Passo 1

Eaew, belezinha?

O que o enunciado quer que achemos uma restrição sobre a função

y = f ( x ) = ( x - 1 ) ( x + 5 )

e, então usemos a restrição definida para encontrar uma inversa, especificando seu domínio e contradomínio! Aqui, o processo varia de caso a caso, então! Vem comigo!

Passo 2

Temos a função dada por

f ( x ) = ( x - 1 ) ( x + 5 )

uma restrição existente é tal que

( x - 1 ) ( x + 5 ) > 0

pois queremos manter o contradomínio nos reais. Isso nos leva ao seguinte polinômio de grau 2

g ( x ) = x 2 + 4 x - 5 > 0

Polinômios de segunda ordem em geral não admitem inversa, mas, se limitarmos o seu domínio, é possível construir uma! Precisamos saber onde fica o vértice da parábola! Saca só!

Passo 3

Usando Bhaskara para encontrar as raízes de nosso polinômio, temos que

x ± = - 4 ± 16 - 4 ( 1 ) ( 5 ) 2 ( 1 ) = - 2 ± i

em geral o vértice da parábola está posicionado em x = α , em que α é a parte real de uma raiz complexa, sendo assim, o vértice de nossa parábola está posicionado em x = - 2 . Ou seja, contanto que consideremos nosso domínio em x > - 2 ou x < - 2 , podemos construir uma inversa para g ( x ) , que será dada por

x = [ h ( x ) ] 2 + 4   h ( x ) - 5

evidenciando as h ( x ) , temos que

h ( x ) [ h ( x ) + 4 ] = x + 5

ou seja, a inversa é apenas definida implicitamente

h ( x ) = x + 5 h ( x ) + 4

A função só tem validade quando h ( x ) ≠ - 4 , e lembre que para que a inversa exista, é necessário que x < - 2 ou x > - 2 , onde a função vale

g ( - 2 ) = - 5

Portanto, o domínio da inversa é tal que

D = { x ∈ ℝ |   x > - 5 }

e

C D = { x ∈ ℝ |   h ( x ) ≠ - 4 }

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

g ( x ) = x 2 + 4 x - 5 > 0 , h ( x ) = x + 5 h ( x ) + 4 , D = { x ∈ ℝ |   x > - 5 } e C D = { x ∈ ℝ |   h ( x ) ≠ - 4 }

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