Esboce a região da integração e mude a ordem de integração para calcular a integral:

∫ 0 1 ∫ y 1 s e n x 3 d x d y

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Vamos pegar a integral do enunciado:

∫ 0 1 ∫ y 1 s e n x 3 d x d y

Para esboçarmos, precisamos antes determinar o intervalo de variação de x   e   y . Olhando para a integral acima, vamos reparar que o primeiro intervalo vai ser referente ao y e o segundo intervalo vai ser referente ao x

0 ≤ y ≤ 1

y ≤ x ≤ 1

Show. Agora, vamos começar a desenhar com calma cada parte. Começando pelo intervalo de y

Temos que

0 ≤ y ≤ 1

Então, vamos ter algo parecido com isso:

Agora em relação a x . Antes, vamos fazer um pequeno ajuste. Repara que temos

y ≤ x ≤ 1

Para ficar mais simples de desenhar, vamos re-escrever o y

x = y → y = x ²

Show, desenhando, vamos ter:

Passo 2

Show, agora vamos mudar a ordem de integração da nossa integral:

∫ 0 1 ∫ y 1 s e n x 3 d x d y

Reparem que aqui temos uma integral dupla do tipo I I , ou seja, y está entre números e x está entre funções. O que faremos aqui? Vamos inverter isso. Primeiro temos que extrair os intervalos de integração que fizemos lá no Passo 1:

Para isso vamos dar uma conferida na região delimitada:

0 ≤ y ≤ 1

y ≤ x ≤ 1

Agora vamos trazer de volta a nossa região encontrada no Passo anterior:

Reparem que o Intervalo de integração da nossa região está como se tivesse indo da Esquerda para a Direita, por isso x está entre funções. Então, vamos ter que agora olhar para ela indo de baixo para cima, e assim colocar y entre funções.

Começando por x . Reparem que pela nossa imagem, x está variando de 0   a   1 . Logo:

0 ≤ x ≤ 1

Show, agora, olhando para y . Reparem que nós vamos ter a curva em Azul acima do nosso eixo x . Mas afinal, que curva é essa? Bom, nós calculamos lá no Passo 1:

x = y

Podemos isolar o y :

y = x ²

Então podemos dizer que y esta variando entre :

0 ≤ y ≤ x ²

Com isso, nossa integral dupla vai ficar:

∫ 0 x ² ∫ 0 1 s e n x 3 d y d x

Resposta

∫ 0 x ² ∫ 0 1 s e n x 3 d y d x

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1