Qual figura melhor esboça o maior domínio de definição da função g x , y , z = ln ⁡ ( 4 - z 2 ) - z 2 + 2 x 2 + 2 y 2 + 4 y + 1 .

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para a gente entender o domínio da função, temos que analisar com calma cada restrição que pode ter ali. Vamos começar olhando para a função logaritmo.

Os valores dentro da função logaritmo tem que ser maiores que zero, então

4 - z 2 > 0

z 2 < 4

- 2 < z < + 2

Passo 2

Show galera, agora vamos analisar a equação dentro da raiz. Quando temos uma raiz, ela tem que ser maior ou igual a zero, então

- z 2 + 2 x 2 + 2 y 2 + 4 y + 1 ≥ 0

- z 2 + 2 x 2 + 2 y 2 + 4 y + 1 ≥ 0

2 x 2 + 2 y 2 + 4 y - z 2 ≥ - 1

Beleza, porém aqui nós vamos ter que fazer um preenchimento de quadrados na parte da variável y

2 x 2 + 2 y 2 + 4 y + 2 - 2 - z 2 ≥ - 1

2 x 2 + 2 y 2 + 4 y + 2 - z 2 ≥ 1

Se a gente isolar o 2 na parte do y, vamos ter:

2 x 2 + 2 ( y 2 + 2 y + 1 ) - z 2 ≥ 1

2 x 2 + 2 ( y + 2 ) ² - z 2 ≥ 1

Para a gente deixar a nossa equação mais próxima do formato padrão, vamos deixar no numerador somente as variáveis ao quadrado

x ² 1 2 + ( y + 2 ) ² 1 2 - z ² 1 ≥ 1

Passo 3

Beleza, então, o que podemos concluir com isso? Vamos olhar para a última fórmula encontrada

x ² 1 2 + ( y + 2 ) ² 1 2 - z ² 1 ≥ 1

Essa fórmula se trata de uma Hiperbolóide de uma folha. Porém ele ta dizendo que tem que ser maior do que 1, logo a região seria a parte de FORA da hiperbolóide.

Além disso, nós temos mais 1 restrição:

- 2 < z < + 2

Ou seja, a altura da nossa hiperbolóide vai variar de -2 até +2, então tem uma região limitada.

Resposta

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:a) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ - 1,1
Verificar que as equações vetoriais r → w = w ,w 2 ,2 ≤ w ≤ 3 e r → t = t ,t , 4 ≤ t ≤ 9 representam a mesma curva.
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1