Para ir de um ponto A a um ponto B diametralmente oposto de uma piscina circular de 10 m de diâmetro, uma pessoa pode caminhar (com velocidade constante) pela borda da piscina até um ponto C e nadar (com velocidade constante) em linha reta até o ponto B (vide Figura 3b). Seja α o ângulo A O C . Sabendo que ela pode caminhar duas vezes mais rápido do que pode nadar, determine, em termos de α , as trajetórias que o levam ao seu destino no maior e no menor tempo. (Observação: considere que a pessoa pode somente caminhar ou somente nadar).

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1.

Queremos descobrir qual o maior e menor tempo que uma pessoa leva para atravessar uma piscina circular de 10 m de diâmetro, onde a pessoa pode caminhar (com velocidade constante) pela borda da piscina até um ponto C e nadar (com velocidade constante) em linha reta até o ponto B (vide Figura 3b). Seja α o ângulo A O C . Sabendo que ela pode caminhar duas vezes mais rápido do que pode nadar.

Vamos supor que a velocidade que a pessoa nada é v . Logo, a velocidade com a qual ela anda é 2 v

Com isso em mente. Vamos calcular a distância percorrida pela pessoa no trajeto.

Passo 2

A distância percorrida será o tamanho do arco A C mais o segmento de reta C B .

Bem, como a piscina tem raio 5 o comprimento do arco A C é:

5 α

Agora, qual seria o comprimento da semirreta C B ? Vamos desenhar

Como o triângulo C O B é isósceles, temos que sua base será dada por

2 x

onde

x = 5 c o s ( α / 2 )

Logo, a distância percorrida a nado é

10 c o s ( α / 2 )

Passo 3

Agora que temos as distâncias percorridas a pé e a nado. Podemos calcular o tempo que a pessoa leva para percorrer cada uma delas. Como

T e m p o   =   d i s t â n c i a / v e l o c i d a d e

Temos:

T p é = 5 α 2 x

T n a d o = 10 c o s ( α / 2 ) x

Dessa forma, o tempo total é:

5 α 2 x + 10 c o s ( α / 2 ) x = 5 ( α + 4 c o s ( α / 2 ) ) 2 x

Para obtermos o tempo mínimo, derivamos e igualamos a zero. Derivando

1 - 2 s i n ( α / 2 ) = 0

Note que que é zero quando

s i n ( α / 2 ) = 1 / 2

⇒ α / 2 = π / 6

⇒ α =   π / 3

Agora, só temos um ponto crítico que é o máximo. Logo, o mínimo local se encontrará na fronteira dos valores de α por conta do teorema de Weierstrass. Logo mínimo ocorre em

α =   0 ou ⇒ α =   π

Substituindo os valores, vemos que o mínimo ocorre em:

α =   π

Dessa forma, temos que:

  t e m p o   é   m í n i m o   c o m   α   =   π   e   m á x i m o   c o m   α   =   π / 3 .

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

  t e m p o   é   m í n i m o   c o m   α   =   π   e   m á x i m o   c o m   α   =   π / 3 .

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Verificar que as equações vetoriais r → w = w ,w 2 ,2 ≤ w ≤ 3 e r → t = t ,t , 4 ≤ t ≤ 9 representam a mesma curva.
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1