Enunciado

1.1) Seja f x , y = ln ⁡ x + y - 1

a) Calcule f 1,1 e f 1 , e

b) Determine e esboce o domínio de f .

c) Determine a imagem de f .

Passo 1

Falaaa... Beleza??

Nessa questão vamos usar os conceitos de funções de várias variáveis.

Na letra (a), pra calcular vamos só substituir os valores de x e y na função e calcular.

Na letra (b), pra achar o domínio vamos garantir algumas coisas na função:

- se for fração, não pode ter denominador igual a 0;

- se for uma raiz quadrada, dentro só pode ter valores positivos ou igual a zero;

- se for um logaritmo, o que tem dentro dele é estritamente positivo.

E daí podemos esboçar.

Na letra (c), pra achar a imagem vamos ver quais são os valores possíveis pra f x , y .

Passo 2

a) Substituindo os valores:

f 1,1 = ln ⁡ 1 + 1 - 1

= ln ⁡ 1

= 0

f 1 , e = ln ⁡ 1 + e - 1

= ln ⁡ e

= 1

Passo 3

b) como temos uma função logarítmica, então o que tem dentro dela tem que ser estritamente positivo:

x + y - 1 > 1

x + y > 2

E o domínio fica:

D = x , y ∈ R 2 x + y > 2 }

E o esboço fica o plano:

Passo 4

c) Como a função é logarítmica, então todos os números reais fazem parte da imagem.

Se não for tão fácil enxergar isso, lembra da função exponencial, que é a inversa da logarítmica. O domínio da função exponencial é o conjunto de todos os reais, né?? Então a imagem do log será o conjunto dos reais também.

I m = R

Acabamos essa. Bora pra próxima?

Resposta

a) f 1,1 = 0 e f 1 , e = 1

b) D = x , y ∈ R 2 x + y > 2 }

c) I m = R

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